Week 5.1 | 左倾红黑树LLRB | Princeton Algorithms

文章目录

一、2-3 search trees
- 1. 定义
- 2. 操作
- 3. 复杂度
二、左倾红黑树LLRB
- 1. 定义
- 2. 实现
- - （1）查找
  - （2）红黑树节点表示
  - （3）左旋
  - （4）右旋
  - （5）翻转颜色
  - （6）插入
- 3. 复杂度
三、B-trees
- 1. 定义
- 2. 实现
- 3. 复杂度

一、2-3 search trees

上一节中讲述了BST的实现和性能，但其增删改查的复杂度最坏情况为N。如何得到最坏情况也为logN的结构呢？

1. 定义

2. 操作

搜索K
递归实现
比较当前节点key与搜索key的大小；再找到搜索key所在区间；顺着link进入下一个节点
插入K
- 在2-node中插入（2-node即该节点中只有1个key）：
  首先查找K所在位置，如果查找到的最后一个节点是2-node，则将2-node替换成3-node
  
  K < M, K > J, K < L
- 在3-node中插入（2-node即该节点中有2个key）：
  ・Add new key to 3-node to create temporary 4-node.
  ・Move middle key in 4-node into parent.
  ・Repeat up the tree, as necessary.
  ・If you reach the root and it’s a 4-node, split it into three 2-nodes
  例：插入L，首先找到L的位置，L在E和R之间，在H和P之间
  
  将L插入到3-node节点的对应位置，创造一个暂时的4-node节点
  
  将4-node节点的中间key移动到父节点的对应位置中，分开剩下两个key。循环这一步直到能够将中间节点插入到为2-node父节点中；或者到达root
  
  到达root的话，就将root的4-node节点分成三个2-node节点（4-node节点意味着，其四个子节点，分别在4-node节点的3个key分成的四个区间中）
- 总而言之：就是要保持对称顺序和很好的平衡

3. 复杂度

当插入新节点时，如果需要更新树的深度，底部不动，在原根节点上再加一个新的根节点，所有的树的原节点的深度都+1. 这样就保证，从root到每一个底部节点都是一样的长度。

但实现起来太麻烦。使用红黑树实现这一思想。

二、左倾红黑树LLRB

1. 定义

主要思想是使用BST来表示2-3 tree。整体仍然符合BST的规则（每个节点有两个子节点、左边小右边大），但加入了link的颜色的设计。

红线所连接的两个节点，等价于2-3 tree中的一个3-node节点。可以将红线所连接的节点视为一个整体，黑线连接各个整体。

这里定义中所提到的三条规则，都需要在LLRB的代码中实现对应的方法来维护这三条规则，对应的方法是：

2. 实现

（1）查找

查找、floor、遍历、select等操作都和基础BST一样。

（2）红黑树节点表示

（3）左旋

该方法的主要目的是维护LLRB的rule之一：红线必须是左倾的。

（4）右旋

该方法辅助了插入方法，帮助维护了LLRB的rule。

（5）翻转颜色

当4-node情况时（即一个整体中有3个key，4个子节点），翻转颜色等价于分离这3个key。

（6）插入

从（3）-（5）都是插入的辅助方法，帮助维护LLRB的顺序。

当要插入2-node节点时：

当要插入3-node节点时：

实现：
总结以上情况，虽然看似情况很多，但实际上就三种情况：
右边link红，左边link黑，就左旋；
左边link、左子节点的左边link都为红，右旋；
两边link都红：翻转颜色

3. 复杂度

红黑树能最大可能地保持树的平衡、减低树的深度。因为插入时，会不断旋转来保持左右平衡。

三、B-trees

1. 定义

主要idea是，使用page来储存一大段连续的有序数据，而在搜索时，只需要找到一页page的第一个数据（即probe），再在page中查找即可。这样可以让树的深度非常浅。

该模型，找probe的时间比找page中数据的时间大多了。（我的理解是，在page数组中找数据，只需要用二分法即可。而probe则需要多次跟其他probe比较，才能确认搜索目标在哪个probe指向的page中）
所以目标就是尽可能减少probe个数，增大page中存储数据的个数。

每个黑色字母的有序数组就代表一个page，黑色字母才是客户存储进来的数据。而数组的最小元素被存储在其父节点的数组中，作为probe，也即红色字母用于作为搜索时的向导，而不是客户需要使用的数据。

每个存储probe的数组（设一个page存储的最大数据量为M，则每个数组的长度都为M），都可以存储M-1个probe和M-1个对应的link，指向子节点。与二叉树相同，每个子节点数组，其中全部数据都在父节点的两个key的中间、或全部小于最小key、或全部大于最大key。

2. 实现

搜索：

插入：

插入图示

每一行显示了在一个page中插入一个key的结果。
每一行都是最底层的page数组，用于存储数据。上层的probe数组没有显示。

3. 复杂度