动态规划问题（凑硬币）理解总结

题目：

假设有 8元，3 元，1 元,5元的硬币若干(无限)，现在需要凑出3 元，问有多少种情况可以凑出硬币

动态规划的解题四步骤

步骤参考了csdn上面的讲解，很细致，所以借用这个思路总结

动态规划的的四个解题步骤是：

定义子问题
写出子问题的递推关系
确定 DP 数组的计算顺序
空间优化（可选）
可以参考LeetCode 例题精讲 | 14 打家劫舍问题：动态规划的解题四步骤_程序员吴师兄的博客-CSDN博客

第一步，定义子问题。

设硬币面值的集合为C{c2,c2,c3,...,cm}，子问题是f（K）

那么f(k)子问题可以定义为:

在选择集合C中的数据，可以凑出金额k的方案的个数是多少，来进行分析规划。

第二步，写出子问题的递推关系。

考虑第一个硬币放哪个，如果放1的话，剩下的方案k-1的方案个数就是f（k-1）也就是,凑出金额k-1的方案的个数是多少

我们就由此可以得到递推关系：

$f(k) = \sum_{c\in C} f(k-c)$

子问题的 base case：

$f(0) =1$

表示：凑出金额0的方案数是1（什么情况下需要凑出金额0呢？也就是上一步已经完整的得到了我们凑出的数）

第三步，确定 DP 数组的计算顺序。

确定 DP 数组计算顺序的重点是看子问题的依赖关系。

我们可以判定，8>需要凑出的元素3，所以排除可能

DP 数组中的每个元素只依赖其左边的元素。在本题中，f(k)依赖于f(k-1)，f(k-3)和f(k-5)三种情况

怎么理解呢：

比如我们定义现在的情况是f(k)，那么他的前一步，就可能是f(k-1)，f(k-3)和f(k-5)三种情况我们笼统的定义为f（k-i）

假设前一步是f（k-1）的话在前一步，就会是f(k-1-1)；f(k-1-3)和f(k-1-5)三种情况

DP数组图：

有点类似于递归的思想，那么什么时候跳出这种类递归呢？就是在f(0)的时候，凑出金额为0了跳出递归返回值了。

代码如下：

public int combinationSum4(int n, int[] coins) {// 创建dp数组，默认初始化为0，大小为需要规划的值+1int[] dpResult = new int[n + 1];// 定义 base case，也就是f(0)的情况=1dpResult[0] = 1;//遍历dp数组，从第二位到最后for (int k = 1; k <= n; k++) {//遍历coins数组for (int i=0; i<coins.length; i++) {//判定k>=n的情况，也就是k在右边，依赖于K左边的[k-i]的元素if (k >= i) {dpResult[k] += dpResult[k-i];}}}return dpResult[n];

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