排列组合问题的通用算法

尽管排列组合是生活中经常遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组合再排列，并且单纯的排列问题相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选取m(0<m<=n)个数为例，问题可分解为：
1. 首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。
2. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。
很明显，上述方法是一个递归的过程，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。
下面是递归方法的实现：
/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
/// a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
/// b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
/// 常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。
void combine( int a[], int n, int m, int b[], const int M )
{
for(int i=n; i>=m; i--)   // 注意这里的循环范围
{
  b[m-1] = i - 1;
  if (m > 1)
   combine(a,i-1,m-1,b,M);
  else                     // m == 1, 输出一个组合
  {
   for(int j=M-1; j>=0; j--)
    cout << a[b[j]] << " ";
   cout << endl;
  }
}
}

因为递归程序均可以通过引入栈，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以把组合问题化归为图的路径遍历问题，在n个数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下面以从1,2,3,4中任选3个数为例说明）求从[1,1]位置出发到达[m,x](m<=x<=n)位置的所有路径：
1 2 3 4
    2 3 4
        3 4
上图是截取n×n右上对角矩阵的前m行构成，如果把矩矩中的每个元素看作图中的一个节点，我们要求的所有组合就相当于从第一行的第一列元素[1,1]出发，到第三行的任意一列元素作为结束的所有路径，规定只有相邻行之间的节点，并且下一行的节点必须处于上一行节点右面才有路径相连，其他情况都无路径相通。显然，任一路径经过的数字序列就对应一个符合要求的组合。
下面是非递归的回溯方法的实现：
/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
/// a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。
/// 返回所有组合的总数。
int combine(int a[], int n, int m)
{
m = m > n ? n : m;

int* order = new int[m+1];
for(int i=0; i<=m; i++)
order[i] = i-1;            // 注意这里order[0]=-1用来作为循环判断标识

int count = 0;
int k = m;
bool flag = true;           // 标志找到一个有效组合
while(order[0] == -1)
{
if(flag)                   // 输出符合要求的组合
{
   for(i=1; i<=m; i++)
    cout << a[order[i]] << " ";
   cout << endl;
   count++;
   flag = false;
}

order[k]++;                // 在当前位置选择新的数字
if(order[k] == n)          // 当前位置已无数字可选，回溯
{
   order[k--] = 0;
   continue;
}

if(k < m)                  // 更新当前位置的下一位置的数字
{
   order[++k] = order[k-1];
   continue;
}

if(k == m)
   flag = true;
}

delete[] order;
return count;
}

下面是测试以上函数的程序：
int main()
{
const int N = 4;
const int M = 3;
int a[N];
for(int i=0;i<N;i++)
a[i] = i+1;

// 回溯方法
cout << combine(a,N,3) << endl;

// 递归方法
int b[M];
combine(a,N,M,b,M);

return 0;
}

由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外乎递归和回溯两种。在针对具体问题的时候，因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言，递归不是一个好的选择，这种情况下只能采取回溯的方法来解决。

n个数的全排列问题相对简单，可以通过交换位置按序枚举来实现。STL提供了求某个序列下一个排列的算法next_permutation，其算法原理如下：
1. 从当前序列最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令前面一个元素为*i，后一个元素为*ii，且满足*i<*ii；
2. 再次从当前序列末端开始向前扫描，找出第一个大于*i的元素，令为*j（j可能等于ii），将i，j元素对调；
3. 将ii之后（含ii）的所有元素颠倒次序，这样所得的排列即为当前序列的下一个排列。
其实现代码如下：
template <class BidirectionalIterator>
bool next_permutation(BidirectionalIterator first, BidirectionalIterator last)
{
if (first == last) return false;   // 空範圍
BidirectionalIterator i = first;
++i;
if (i == last) return false;       // 只有一個元素
i = last;                          // i 指向尾端
--i;

for(;;)
{
  BidirectionalIterator ii = i;
  --i;
  // 以上，鎖定一組（兩個）相鄰元素
  if (*i < *ii)                     // 如果前一個元素小於後一個元素
  {
   BidirectionalIterator j = last;  // 令 j指向尾端
   while (!(*i < *--j));            // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
   iter_swap(i, j);                 // 交換 i, j
   reverse(ii, last);               // 將 ii 之後的元素全部逆向重排
   return true;
  }
  if (i == first)                   // 進行至最前面了
  {
   reverse(first, last);            // 全部逆向重排
   return false;
  }
}
}

下面程序演示了利用next_permutation来求取某个序列全排列的方法：
int main()
{
int ia[] = {1,2,3,4};
vector<int> iv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int));

copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
cout << endl;
while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()))
{
copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
cout << endl;
}

return 0;
}
注意：上面程序中初始序列是按数值的从小到大的顺序排列的，如果初始序列无序的话，上面程序只能求出从当前序列开始的后续部分排列，也就是说next_permutation求出的排列是按排列从小到大的顺序进行的。

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