Birthday Paradox（生日悖论）（概率）

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Time limit：2000 ms
Memory limit：32768 kB
OS：Linux
Source：Problem Setter: Jane Alam Jan

描述

Sometimes some mathematical results are hard to believe. One of the common problems is the birthday paradox. Suppose you are in a party where there are 23 people judge：LightOJ - 1104
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Input

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Output

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Sample Input

2
365
669

Sample Output

Case 1: 22
Case 2: 30

题意

很有意思的一道题。

有时有些数学结果很难相信。其中一个常见的问题是生日悖论。假设你在一个有23个人的聚会上，包括你。聚会上至少有两个人过同一个生日的可能性有多大？令人惊讶的是，结果超过了0.5。现在你必须做相反的事情。你已经给出了一年中的天数。记住，你可以在一个不同的星球，例如，在火星，一年是669天长。你必须找到在一个聚会上你必须邀请的最少人数，这样在聚会上至少两个人有相同生日的概率至少是0.5。

输入

输入以整数 T （ T ≤ 20000 ） T（T≤20000） T（T≤20000）开始，表示测试用例的数量。

每种情况下，在一行中包含一个整数 n （ 1 ≤ n ≤ 1 0 5 ） n（1≤n≤10^5） n（1≤n≤105），表示行星一年中的天数。

输出

对于每个案例，打印案例编号和所需结果。

思路

先算出没有人生日相同的概率，拿1减去结果即为有人生日相同的概率。

设一年有n天，聚会有m个人（包括自己）。

列出方程： 1 − C n 1 ⋅ C n − 1 1 ⋯ C n − m + 1 1 n m > = 0.5 1-\frac{C^1_n·C^1_{n-1}\cdots C^1_{n-m+1}}{n^m}>=0.5 1−nmCn1⋅Cn−11⋯Cn−m+11>=0.5

即： n ⋅ ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) n m < = 0.5 \frac{n·(n-1)\cdots (n-m+1)}{n^m}<=0.5 nmn⋅(n−1)⋯(n−m+1)<=0.5

为了简化运算，把分子分母分别拆开。
n − 1 n ⋅ n − 2 n ⋯ n − m + 1 n < = 0.5 \frac{n-1}{n}·\frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-m+1}{n}<=0.5 nn−1⋅nn−2⋯nn−m+1<=0.5

到这里我相信所有人都会做这道题了。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define lowbit(a) ((a)&-(a))
#define maxn 100005
#define eps 0.000000001
using namespace std;
typedef long long ll;int main(){//    freopen("in.txt", "r", stdin);ios::sync_with_stdio(false);int T;cin >> T;for(int ca = 1; ca <= T; ca++){int n;cin >> n;double p = 1;int ans = 1;for(int j = n - 1; j >= 1; j--){p *= j * 1.0 / n;if(p - eps <= 0.5) break;ans++;}printf("Case %d: %d\n", ca, ans);}return 0;
}