P1719 最大加权矩形(二维前缀和Java)

P1719 最大加权矩形

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1719

题目描述

为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N*N矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大。矩阵的每个元素属于[-127,127],例如

0 –2 –7 0
9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：

9 2
-4 1
-1 8
和为15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的HZH，TZY小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：n，接下来是n行n列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

输入输出样例

输入 #1
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出 #1
15
说明/提示
n<=120

解题思路：

二位前缀和模板题
dp[i][j]为i×j矩阵的元素和，即dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]。

找最大子矩阵，则dp[i][j]-dp[i][j-y]-dp[i-x][j]+dp[i-x][j-y]即为dp[i][j]中x×y的子矩阵的元素和。

代码如下：

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int maxn = 0;int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) {dp[i][j] = sc.nextInt();dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {for (int x = 1; x <= i; x++) {for (int y = 1; y <= j; y++) {maxn = Math.max(maxn, dp[i][j] - dp[i - x][j] - dp[i][j - y] + dp[i - x][j - y]);}}}}System.out.println(maxn);}
}