牛顿二项式定理（广义二项式定理）

牛顿二项式定理

1、设α\alphaα是实数。对于所有满足1≤∣x∣<∣y∣1\le |x|< |y|1≤∣x∣<∣y∣的x和y，有
(x+y)α=∑k=0∞Cαkxkyα−k(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k}(x+y)α=k=0∑∞Cαkxkyα−k

其中Cα0=1C_{\alpha}^{0}=1Cα0=1

Cαk=α(α−1)…(α−k+1)k!C_{\alpha}^k=\frac {\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}Cαk=k!α(α−1)…(α−k+1)=(−1)k−α(−α+1)…(−α+k−1)k!=(−1)kC−α+k−1k=(-1)^k\frac {-\alpha(-\alpha+1)\dots(-\alpha+k-1)}{k!}=(-1)^kC_{-\alpha+k-1}^{k}=(−1)kk!−α(−α+1)…(−α+k−1)=(−1)kC−α+k−1k

2、当α\alphaα为正整数时，当k>αk>\alphak>α时，Cαk=0C_{\alpha}^k=0Cαk=0，上式变为

(x+y)α=∑k=0αCαkxkyα−k(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\alpha}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k}(x+y)α=k=0∑αCαkxkyα−k

3、当α\alphaα为负整数时，设z=xyz=\frac xyz=yx，此时 ∣z∣<1|z|< 1∣z∣<1
(x+y)α=yα(1+z)α(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}(x+y)α=yα(1+z)α

这样我们只需要讨论 (1+z)α(1+z)^{\alpha}(1+z)α 就好了
(1+z)α=∑k=0∞Cαkzk=∑k=0∞(−1)kC−a+k−1kzk(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k z^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kC_{-a+k-1}^k z^k(1+z)α=k=0∑∞Cαkzk=k=0∑∞(−1)kC−a+k−1kzk
当α=−1，z=−z\alpha=-1，z=-zα=−1，z=−z时

(1−z)−1=∑k=0∞zk(1-z)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k(1−z)−1=k=0∑∞zk

相当于普通生成函数1个因子的情况

当α=−n，z=−z\alpha=-n，z=-zα=−n，z=−z时

(1−z)−n=∑k=0∞Cn+k−1kzk(1-z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^k z^k(1−z)−n=k=0∑∞Cn+k−1kzk

相当于普通生成函数n个因子的情况

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