math_高阶导数求导法则和公式
文章目录
- 高阶导数求导法则和公式
- 部分高阶导数公式推导和归纳
- dndxn1x\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{x}dxndnx1
- ((x+a)k)(n)((x+a)^k)^{(n)}((x+a)k)(n)
- Pi的k阶导数P_i的k阶导数Pi的k阶导数
- 数列游标公式
- 三角函数高阶导数
- dndxnsin(x)\frac{d^n}{dx^n}sin(x)dxndnsin(x)
- 反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+π2)反复套用cos\phi(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+2π)
- dndxncosx\frac{d^n}{dx^n}cosxdxndncosx
高阶导数求导法则和公式
部分高阶导数公式推导和归纳
dndxn1x\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{x}dxndnx1
n(deriv(n)) f(x)=1x=x−1f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}f(x)=x1=x−1 1 −1x−2-1x^{-2}−1x−2 2 (−1)(−2)x−3(-1)(-2)x^{-3}(−1)(−2)x−3 3 (−1)(−2)(−3)x−4(-1)(-2)(-3)x^{-4}(−1)(−2)(−3)x−4 … … n (−1)(−2)(−3)⋯(−n)x−(n+1)=(−1)nn!x−(n+1)(-1)(-2)(-3)\cdots(-n)x^{-(n+1)}=(-1)^n n!x^{-(n+1)}(−1)(−2)(−3)⋯(−n)x−(n+1)=(−1)nn!x−(n+1)
求sin(kx)的高阶导数时,利用诱导公式cos(ϕ(x))=sin(π2+ϕ(x))求cos(kx)的高阶导数时,利用−sin(ϕ(x))=cos(ϕ(x)+π2)求sin(kx)的高阶导数时,利用诱导公式cos(\phi(x))=sin(\frac{\pi}{2}+\phi(x)) \\ 求cos(kx)的高阶导数时,利用-sin(\phi(x))=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2}) 求sin(kx)的高阶导数时,利用诱导公式cos(ϕ(x))=sin(2π+ϕ(x))求cos(kx)的高阶导数时,利用−sin(ϕ(x))=cos(ϕ(x)+2π)
((x+a)k)(n)((x+a)^k)^{(n)}((x+a)k)(n)
(xn)(n)=n!;(xn)(n+1)=0可以得到((x+a)n)(n)=(∑i=0nxian−i))(n)=1⋅(xn)(n)=n!(x^n)^{(n)}=n!; \\(x^n)^{(n+1)}=0 \\可以得到 \\ ((x+a)^n)^{(n)} =(\sum\limits_{i=0}^{n}{x^{i}a^{n-i}}))^{(n)}=1\cdot (x^{n})^{(n)}=n! (xn)(n)=n!;(xn)(n+1)=0可以得到((x+a)n)(n)=(i=0∑nxian−i))(n)=1⋅(xn)(n)=n!
更一般的,我们可以推导:记y=(x+a)ky(n)=((x+a)k)(n)1⩽n⩽k;k,n∈N+时,((x+a)k)(n)=k!(k−n)!(x+a)k−n=Pkn(x+a)k−n更一般的,我们可以推导: \\ 记y=(x+a)^k \\y^{(n)}=((x+a)^k)^{(n)} \\1\leqslant n\leqslant k;k,n\in N^+时, \\((x+a)^k)^{(n)}=\frac{k!}{(k-n)!}(x+a)^{k-n} =P^{n}_{k}{(x+a)}^{k-n} 更一般的,我们可以推导:记y=(x+a)ky(n)=((x+a)k)(n)1⩽n⩽k;k,n∈N+时,((x+a)k)(n)=(k−n)!k!(x+a)k−n=Pkn(x+a)k−n
特别的,当n=k时,(常数a的值在此时无关紧要)便得:((x+a)k)(k)=k!\\特别的,当n=k时,(常数a的值在此时无关紧要) 便得: \\((x+a)^k)^{(k)}=k! 特别的,当n=k时,(常数a的值在此时无关紧要)便得:((x+a)k)(k)=k!
Pi的k阶导数P_i的k阶导数Pi的k阶导数
Pi(x)=a0+∑k=1nak(x−x0)k;P_i(x)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{n} {a_k}(x-x_0)^{k}; Pi(x)=a0+k=1∑nak(x−x0)k;
对于i阶逼近函数Pi,对其求k阶导数;Pi(k)(x0)=0+∑0+akk!+∑0=akk!根据约束条件=f(k)(x0)从而得到ak=f(k)(x0)k!对于i阶逼近函数P_i,对其求k阶导数; \\ P_i^{(k)}(x_0)=0+\sum\limits0+a_{k}k!+\sum\limits0=a_kk! \\ 根据约束条件 \\=f^{(k)}{(x_0)} \\从而得到a_k=\frac{f^{(k)}{(x_0)}}{k!} 对于i阶逼近函数Pi,对其求k阶导数;Pi(k)(x0)=0+∑0+akk!+∑0=akk!根据约束条件=f(k)(x0)从而得到ak=k!f(k)(x0)
| n(求导阶数deriv(n)) | f(n)(x);这里f(x)=xαf^{(n)}(x);这里f(x)=x^{\alpha}f(n)(x);这里f(x)=xα |
|---|---|
| 1 | αxα−1\alpha x^{\alpha-1}αxα−1 |
| 2 | α(α−1)xα−2\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}α(α−1)xα−2 |
| 3 | α(α−1)(α−2)xα−3\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^{\alpha-3}α(α−1)(α−2)xα−3 |
| … | … |
| n | (α−0)(α−1)⋯(α−(n−1))xα−n(\alpha-0)(\alpha-1)\cdots (\alpha-(n-1))x^{\alpha-n}(α−0)(α−1)⋯(α−(n−1))xα−n= (∏k=0n−1(α−k))xα−n=α!(α−n)!xα−n\left(\prod\limits_{k=0}^{n-1}(\alpha-k) \right)x^{\alpha-n}=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}x^{\alpha-n}(k=0∏n−1(α−k))xα−n=(α−n)!α!xα−n |
- α=n的时候,f(n)(x)=α!(α−n)!=n!\alpha=n的时候,f^{(n)}(x)=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}=n!α=n的时候,f(n)(x)=(α−n)!α!=n!
数列游标公式
设自然数序列1,2,3,4,...,p−1,p,...,n⏟共计m个元素;其中p<n设自然数序列1,2,3,4,...,p-1,\underset{共计m个元素}{\underbrace{p,...,n}};其中p<n设自然数序列1,2,3,4,...,p−1,共计m个元素p,...,n;其中p<n
则我们有p−1=n−m(或者说(p−1)+m=n);这样,(p−1)!=(n−m)!;∏k=0m−1(n−k)=n!(n−m)!则我们有p-1=n-m(或者说(p-1)+m=n); \\这样,(p-1)!=(n-m)!; \\ \prod_{k=0}^{m-1}(n-k)=\frac{n!}{(n-m)!} 则我们有p−1=n−m(或者说(p−1)+m=n);这样,(p−1)!=(n−m)!;k=0∏m−1(n−k)=(n−m)!n!
三角函数高阶导数
求sin(kx)的高阶导数时,利用变名诱导公式cos(ϕ(x))=sin(π2+ϕ(x))求cos(kx)的高阶导数时,利用−sin(ϕ(x))=cos(ϕ(x)+π2)求sin(kx)的高阶导数时,利用变名诱导公式cos(\phi(x))=sin(\frac{\pi}{2}+\phi(x)) \\ 求cos(kx)的高阶导数时,利用-sin(\phi(x))=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2}) 求sin(kx)的高阶导数时,利用变名诱导公式cos(ϕ(x))=sin(2π+ϕ(x))求cos(kx)的高阶导数时,利用−sin(ϕ(x))=cos(ϕ(x)+2π)
dndxnsin(x)\frac{d^n}{dx^n}sin(x)dxndnsin(x)
| n(求导阶数deriv(n)) | f(n)(x);这里f(x)=sin(x)f^{(n)}(x);这里f(x)=sin(x)f(n)(x);这里f(x)=sin(x) |
|---|---|
| 1 | cosxcosxcosx |
| 2 | −sinx-sinx−sinx |
| 3 | −cosx-cosx−cosx |
| 4 | sinxsinxsinx (可以看出,第4次求导的时候已经回到初始函数f(x)=sinx)(可以看出,第4次求导的时候已经回到初始函数f(x)=sinx)(可以看出,第4次求导的时候已经回到初始函数f(x)=sinx) |
| 5 | cosxcosxcosx |
| … | … |
反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+π2)反复套用cos\phi(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+2π)
对于ϕ(x)=ax,sin′(ϕ(x))=cos(ϕ(x))ϕ′(x)=sin(ϕ(x)+π2)⋅ϕ′(x)对于\phi(x)=ax,sin'(\phi(x))=cos(\phi(x))\phi'(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})\cdot\phi'(x)对于ϕ(x)=ax,sin′(ϕ(x))=cos(ϕ(x))ϕ′(x)=sin(ϕ(x)+2π)⋅ϕ′(x)
对于ϕ(x)=ax+ω,ω为常数,ϕ′(x)=a对于\phi(x)=ax+\omega,\omega为常数,\phi'(x)=a对于ϕ(x)=ax+ω,ω为常数,ϕ′(x)=a
sin′(ax)=cos(ax)a=sin(ax+π2)⋅a(R)sin'(ax)=cos(ax)a=sin(ax+\frac{\pi}{2})\cdot a \tag{R} sin′(ax)=cos(ax)a=sin(ax+2π)⋅a(R)
可以像递推公式一样反复运用R算子R算子R算子
- ϕ(x)被不停迭代sin′(ϕ(x))=cos(ϕ(x))a=sin(ϕ(x)+π2)⋅a\\\phi(x)被不停迭代 \\ sin'(\phi(x))=cos(\phi(x))a=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})\cdot a ϕ(x)被不停迭代sin′(ϕ(x))=cos(ϕ(x))a=sin(ϕ(x)+2π)⋅a
| n(求导阶数deriv(n)) | f(n)(x);这里f(x)=sin(x)f^{(n)}(x);这里f(x)=sin(x)f(n)(x);这里f(x)=sin(x) |
|---|---|
| 1 | cosx=sin(x+π2)cosx=sin(x+\frac{\pi}{2})cosx=sin(x+2π);即反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+π2)即反复套用cos\phi(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})即反复套用cosϕ(x)=sin(ϕ(x)+2π) |
| 2 | cos(x+π2)=sin(x+π2⋅2)cos(x+\frac{\pi}{2})=sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)cos(x+2π)=sin(x+2π⋅2) |
| 3 | cosx(x+π2⋅2)=sin(x+π2⋅3)cosx(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)=sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot3)cosx(x+2π⋅2)=sin(x+2π⋅3) |
| … | … |
| n | sin(x+n⋅π2)sin(x+\frac{n\cdot\pi}{2})sin(x+2n⋅π) |
| … | … |
dndxncosx\frac{d^n}{dx^n}cosxdxndncosx
| n(求导阶数deriv(n)) | f(n)(x);这里f(x)=cos(x)f^{(n)}(x);这里f(x)=cos(x)f(n)(x);这里f(x)=cos(x) |
|---|---|
| 1 | −sinx=cos(x+π2)-sinx=cos(x+\frac{\pi}{2})−sinx=cos(x+2π); 即反复套用−sinϕ(x)=cos(ϕ(x)+π2),以便保持cos作为函数名即反复套用-sin\phi(x)=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2}),以便保持cos作为函数名即反复套用−sinϕ(x)=cos(ϕ(x)+2π),以便保持cos作为函数名 |
| 2 | −sin(x+π2)=cos(x+π2⋅2)-sin(x+\frac{\pi}{2})=cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)−sin(x+2π)=cos(x+2π⋅2) |
| 3 | −sin(x+π2⋅2)=cos(x+π2⋅3)-sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)=cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot3)−sin(x+2π⋅2)=cos(x+2π⋅3) |
| … | … |
| n | cos(x+n⋅π2)cos(x+\frac{n\cdot\pi}{2})cos(x+2n⋅π) |
类似的可以得到
sin(n)(ax)=ansin(ax+nπ2)cos(n)(ax)=ancos(ax+nπ2)而上面两个推导式a=1的特例sin^{(n)}(ax)=a^nsin(ax+\frac{n\pi}{2}) \\ cos^{(n)}(ax)=a^ncos(ax+\frac{n\pi}{2}) \\而上面两个推导式a=1的特例 sin(n)(ax)=ansin(ax+2nπ)cos(n)(ax)=ancos(ax+2nπ)而上面两个推导式a=1的特例
更一般的:
sin(n)(ax+ω)=ansin(ax+ω+nπ2)cos(n)(ax+ω)=ancos(ax+ω+nπ2)sin^{(n)}(ax+\omega)=a^nsin(ax+\omega+\frac{n\pi}{2}) \\ cos^{(n)}(ax+\omega)=a^ncos(ax+\omega+\frac{n\pi}{2}) sin(n)(ax+ω)=ansin(ax+ω+2nπ)cos(n)(ax+ω)=ancos(ax+ω+2nπ)
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