单精度浮点数存储格式理解

最近看浮点数产生了很多疑问，在网上找答案的时候发现，很多文章都只是告诉你浮点数是怎么样的，但是没有解答为什么要这样，于是自己思考写下自己的理解。

浮点数的二进制表示中，标准格式一般为

$2^{-m}$

比如3.625转化为标准格式为：11.101

而存储到计算机中，不是使用的标准格式，而是使用存储格式。

为什么不是使用标准格式来作为存储格式？

设想一下，假如是使用标准格式来作为存储格式，是不是需要规范前几位为整数位，后几位为小数位。比如前8位作为整数位，那如果现在的数据内容整数位为0，如0.625……的话，就浪费了前八位的空间，这个浪费是以牺牲小数精度为代价。所以才有了存储格式这么个东西。

存储格式介绍

存储格式的规范如下，以单精度浮点数为例，总的长度为32位：

符号位	指数位	尾数位
1	8	23

符号位最简单，表示正负。

在介绍指数位之前，先了解尾数位：

尾数位实际上是还有一个隐藏位为1在尾数位的左侧。

如3.625的二进制格式： $11.101 = 1.1101\times 2^{1}$ （1即是指数位）

（如果不能理解的话，可以将二进制转为10进制来理解： $1.1101\times 2^{1} = (1+2^{-1}+2^{-2}+2^{-4})\times 2 = (1+0.5+0.25+0.0625)\times 2 = 1.8125\times 2 = 3.625$ ）

负指数也一样，如果是0.625，二进制格式为： $0.101 = 1.01\times 2^{-1}$ （-1是指数位）

即将所有浮点数的标准格式转化为： $1.n...\times 2^{m}$ ，而1就是隐藏位，不会存储在数据中。这样的好处是，将更多的空间用来存放有效位置，像前边提到的0.4564545……这种很长的浮点数，可以更好的保留精度。

为什么隐藏位是1，而不是0？

不管隐藏位是1还是0，对于指数位是没有影响的，因为可存储的范围不会改变。

但是，用1却可以增加尾数的范围，将一个有效位隐藏，则可以空出多一位来存储后边的一位精度。但是这个时候就会发现，0怎么表示？其实，在浮点数中0是特殊处理的，当指数位全0，尾数位全0时，代表0 。

指数的转换

介绍完了尾数，介绍指数位，如0.625的指数位是-1，用二进制表示的话会需要占用一个符号位：10000001

但是放在存储格式中，实际上的二进制表达是需要给转换一下的，如果有了解过，应该都知道对于单精度浮点数而言，这个转换就是加上127 。

为什么是加127？

因为指数是有正负值的，所以，如果保留符号位的话，8位的指数位可表达范围是：-127~127

而如果给他加上127的偏移量，范围则变成0~254

而因为现在值全都大于等于0了，所以不需要符号位，范围变成：0~255

加了偏移量，可以增加指数的表示范围。

所以比如-1的指数二进制格式为：-1+127 = 126，二进制格式为：01111110