UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射7 运动点电荷的辐射

实际问题中辐射的source都是比较复杂的charge density与currency density，但作为比较简单直观易于理解的模型，我们可以先学习point charge与point currency。用ro(t~)\textbf r_o(\tilde t)ro(t~)表示point charge的位移，这里的ttt加了上标是为了强调这是retarded time，也就是source在过去某个时刻产生电磁波然后在未来某个时刻被我们观察到。用x\textbf xx表示观察者的位移，当观察者观察到电磁波时，point charge的位移为ro(t)\textbf r_o(t)ro(t)，用这个位移作为参考位移。

point charge的density为
ρ(r′,t′)=qδ(r′−ro(t′))J(r′,t′)=qvδ(r′−ro(t′))\rho(\textbf r',t')=q\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t')) \\ \textbf J(\textbf r',t')=q\textbf v \delta(\textbf r'-\textbf r_o(t'))ρ(r′,t′)=qδ(r′−ro(t′))J(r′,t′)=qvδ(r′−ro(t′))

假设∣v∣<<c|\textbf v|<<c∣v∣<<c，否则需要引入狭义相对论来完成推导，标量势与向量势满足
(∇2−1c2∂2∂t2)A=−4πcJ(∇2−1c2∂2∂t2)Φ=−4πρ(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\textbf A = -\frac{4 \pi}{c} \textbf J \\ (\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}) \Phi = -4 \pi \rho(∇2−c21∂t2∂2)A=−c4πJ(∇2−c21∂t2∂2)Φ=−4πρ

用含时Green函数法写出potential的积分解
Φ(x,t)=∬ρ(r′,t′)δ(t′−t+∣x−r′∣c)∣x−r′∣dr′dt′=∫ρ(r′,t−∣x−r′∣c)∣x−r′∣dr′=q∫δ(r′−ro(t−∣x−r′∣c))∣x−r′∣dr′A(x,t)=1c∫J(r′,t−∣x−r′∣c)∣x−r′∣dr′=q∫β⃗(t−∣x−r′∣c)δ(r′−ro(t−∣x−r′∣c))∣x−r′∣dr′\Phi(\textbf x,t)= \iint \rho(\textbf r',t') \frac{\delta(t'-t+\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' dt' \\= \int \frac{\rho(\textbf r',t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' = q \int \frac{\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{|\textbf x - \textbf r'|}{c}))}{|\textbf x - \textbf r'|}d\textbf r' \\ \textbf A(\textbf x ,t)=\frac{1}{c}\int \frac{\textbf J (\textbf r',t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' \\ =q \int \frac{\vec \beta(t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{|\textbf x - \textbf r'|}{c}))}{|\textbf x - \textbf r'|}d\textbf r' Φ(x,t)=∬ρ(r′,t′)∣x−r′∣δ(t′−t+c∣x−r′∣)dr′dt′=∫∣x−r′∣ρ(r′,t−c∣x−r′∣)dr′=q∫∣x−r′∣δ(r′−ro(t−c∣x−r′∣))dr′A(x,t)=c1∫∣x−r′∣J(r′,t−c∣x−r′∣)dr′=q∫∣x−r′∣β(t−c∣x−r′∣)δ(r′−ro(t−c∣x−r′∣))dr′

接下来就比较难搞了，因为Dirac函数的自变量是函数，所以需要引入一些关于Dirac函数的新的技巧来完成后续积分。

记R=x−r′\textbf R=\textbf x - \textbf r'R=x−r′，n^\hat nn^表示R\textbf RR的方向，考虑Φ\PhiΦ的表达式：
q∫δ(r′−ro(t−Rc))Rdr′q \int \frac{\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{R}{c}))}{R}d\textbf r' q∫Rδ(r′−ro(t−cR))dr′

定义
r∗=r′−ro(t−Rc)dr∗=[1−n^(t~)⋅β⃗(t~)]d3r′\textbf r^* = \textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{R}{c}) \\ d \textbf r^* = [1-\hat n(\tilde t) \cdot \vec \beta(\tilde t)] d^3 \textbf r'r∗=r′−ro(t−cR)dr∗=[1−n^(t~)⋅β(t~)]d3r′

变换积分变量，
Φ=q∫δ(r∗)d3r∗∣x−r∗−r0(t~)∣(1−n^⋅β⃗)=q(1−n^⋅β⃗)R∣t~\Phi = q \int \frac{\delta(\textbf r^*)d^3 \textbf r^*}{|\textbf x-\textbf r^*-\textbf r_0(\tilde t)|(1-\hat n \cdot \vec \beta)} = \frac{q}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R}|_{\tilde t}Φ=q∫∣x−r∗−r0(t~)∣(1−n^⋅β)δ(r∗)d3r∗=(1−n^⋅β)Rq∣t~

同样的方法可以得到
A=qβ⃗(1−n^⋅β⃗)R∣t~\textbf A = \frac{q \vec \beta}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R }|_{\tilde t}A=(1−n^⋅β)Rqβ∣t~

称这两个解为Lienard-Wiechert potentials。知道了势之后可以写出电磁场
E=−∇Φ−1c∂∂tAB=∇×A\textbf E = -\nabla \Phi-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \textbf A \\ \textbf B = \nabla \times \textbf AE=−∇Φ−c1∂t∂AB=∇×A

一种比较常用的计算方法是将势重新写为关于时间的积分形式
Φ(x,t)=q∫δ(t′−t+R(t′)c)R(t′)dt′A(x,t)=q∫β⃗(t′)δ(t′−t+R(t′)c)R(t′)dt′\Phi(\textbf x,t) = q\int \frac{\delta(t'-t+\frac{R(t')}{c})}{R(t')}dt' \\ \textbf A(\textbf x,t) = q\int \frac{\vec \beta(t')\delta(t'-t+\frac{R(t')}{c})}{R(t')}dt'Φ(x,t)=q∫R(t′)δ(t′−t+cR(t′))dt′A(x,t)=q∫R(t′)β(t′)δ(t′−t+cR(t′))dt′

先引入一个关于Dirac函数的性质，其实就是对前面换元法的抽象：
∫δ(f(x))dx=∫δ(f(x))dfdf/dx=1dfdx∣x=0\int \delta(f(x))dx = \int \delta(f(x)) \frac{df}{df/dx} = \frac{1}{\frac{df}{dx}|_{x=0}}∫δ(f(x))dx=∫δ(f(x))df/dxdf=dxdf∣x=01

如果
f(t′)=t′−t+R(t′)cf′(t′)≈1−2(x−r′)⋅r′˙2Rc=1−n^⋅β⃗f(t')=t'-t+\frac{R(t')}{c} \\ f'(t')\approx 1-\frac{2(\textbf x- \textbf r')\cdot \dot{\textbf r'}}{2Rc} = 1-\hat n \cdot \vec \betaf(t′)=t′−t+cR(t′)f′(t′)≈1−2Rc2(x−r′)⋅r′˙=1−n^⋅β

这是对前文变量替换时多出来的contraction effect的解释。在这个积分形式下计算导数并带入电磁场的表达式（计算过程有点长，就省略了，有需要的话可以翻一下Jackson的书）
E=−q∫∇(δ(t′−t+Rc)R)dt′−qcddt∫β⃗δ(t′−t+Rc)Rdt′=qn^(1−n^⋅β⃗)R2∣t~+qcddtn^−β⃗(1−n^⋅β⃗)R∣t~=q((n^−β⃗)(1−β⃗2)(1−n^⋅β⃗)R2+n^×[n^−β⃗]×β⃗˙c(1−n^⋅β⃗)3R)t~\textbf E = -q \int \nabla \left( \frac{\delta(t'-t+\frac{R}{c})}{R} \right)dt' - \frac{q}{c} \frac{d}{dt} \int \frac{\vec \beta \delta(t'-t+\frac{R}{c})}{R}dt' \\ = q \frac{\hat n}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R^2}|_{\tilde t}+\frac{q}{c} \frac{d}{dt} \frac{\hat n - \vec \beta}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R}|_{\tilde t} \\ = q \left( \frac{(\hat n-\vec \beta)(1-\vec \beta^2)}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R^2}+\frac{\hat n \times [\hat n - \vec \beta] \times \dot{\vec \beta}}{c(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R}\right)_{\tilde t}E=−q∫∇(Rδ(t′−t+cR))dt′−cqdtd∫Rβδ(t′−t+cR)dt′=q(1−n^⋅β)R2n^∣t~+cqdtd(1−n^⋅β)Rn^−β∣t~=q((1−n^⋅β)R2(n^−β)(1−β2)+c(1−n^⋅β)3Rn^×[n^−β]×β˙)t~

第一项被称为velocity term或者Coulomb term，它只与速度有关且形式与库仑field的形式一致，并且当β⃗→0\vec \beta \to 0β→0，也就是点电荷运动速度相比光速可以忽略时，这一项退化为库仑field；如果点电荷的运动没有加速度，那么第二项为0；如果点电荷的运动存在加速度，第二项不为0，称其为radiation field

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