Hanoi 汉诺塔——通俗易懂地讲解（c++）

通俗易懂的解释~

游戏规则：

有A,B,C三根针，将A针上N个从小到大叠放的盘子移动到C针，一次只能移动一个，不重复移动，小盘子必须在大盘子上面。

问题：

总的移动次数是多少？

分析：

首先明确，我们的目标是将A针上所有N个盘子移动至C针。而对于B针，我们可以将之看成一个中转站。

这个问题，顺向思维或者逆向思维道理是相同的，都太麻烦。我们不妨从中间开始思考

||：规则要求小盘子必须在大盘子之上。试想这个过程中，必然会经历那么一个步骤，即有一大坨N-1个盘子在B针这个中转站，而我们正将最大那个盘子（即第N个盘子）从A针移动至C针。

只有经历“移动最大盘子”这个步骤，余下的事情才有可能实现。而在此之前，我们所要做的事情，就是让“移动最大盘子”这个步骤得以实现。

现在，游戏整个过程以“移动最大盘子”为中央，被分为了两部分。即（前）“将那坨N-1个盘子从A针移动到B针”，(中)“移动最大盘子”，(后)“将坨N-1个盘子从B针移动到C针”。

这是我们意识到，（前）与（后）操作道理是相似的。不去管那个最大盘子，（前）是以C针为中转站，（后）是以A针为中转站。因此两者所需的移动次数应当是相等的。这意味着我们只要计算出其中一者的移动次数，然而乘以2，在加上“移动最大盘子”的那1次，就是这场游戏的总移动次数了。

用数学语言表达，假设（前）“将N-1个盘子从A针移动到B针”所需次数为Hn-1，总移动次数为Hn，那么可以得出的关系就是：Hn=（Hn-1）x 2 + 1.

其实当我们得出这个算式的时候，稍微聪明一点的人已经明白，这就是一个递推公式，可以直接用此公式得出Hn的通解。

但是LZ比较笨，就是不明白，为什么这个公式就可以套用呢？

那么就干脆继续思考吧。

让我们再想象一个情景：最大那个盘子在刚刚从A针被移动到C针，而那坨N-1个盘子还在B针蠢蠢欲动地等待着，即处于（中）->(后)的这个状态。

怎么移动这N-1个盘子呢？

其实这时候，问题已经回到了笔者标示“||：”符号的地方。“||：”是乐谱中的反复记号，而我们要做的，就是重复上面的步骤，但是要将N替换为N-1，因为现在只剩下N-1个盘子需要移动。而中转站则从B变成了A（鉴于这时盘子都在B针）。目标仍然是C针。下一次重复的时候，只剩下N-2个盘子需要移动，中转站又回到B，目标不变仍然是C针。……整个过程中，变化的只是中转站（在A与B之间轮换），以及剩下那些所需要移动的盘子的总数（越来越少）而已。

那么那个大盘子怎么办？不去管它吗？？

正解！！

因为你已经把它移到C针，已经完成了这个移动步骤，它不会影响之后的操作。提醒自己牢记游戏规则，大盘子永远在小盘子下面，而你也不需要再重复移动它——“不重复移动”，正是游戏规则的要求！

于是
Hn=Hn-1 x 2 + 1 这个公式，就可以套用、套用、套用……直到H3=7，H2=3，H1=1。

最后，用最懒的数学归纳法证明通项公式
Hn = 2^n - 1 吧！没办法，LZ就是比较懒嘛~

代码实例

//汉诺塔
#include <stdio.h>void hannuota(int n, char A, char B, char C)
{/*如果是一个盘子，直接将盘子将a移到c否则先将a柱子上面的n-1个盘子借助c移到b，然后直接将a柱子上的盘子从A移到c，最后将b柱子上的n-1个盘子借助a移到c*/if(1 == n){printf("将编号为%d的盘子直接从%c柱子移到%c柱子\n",n, A, C);}else{hannuota(n-1, A , C , B);printf("将编号为%d的盘子直接从%c柱子移到%c柱子\n",n, A, C);hannuota(n-1, B, A, C);}
}
int main(void)
{char ch1 = 'A';char ch2 = 'B';char ch3 = 'B';int n;printf("请输入要移动盘子的个数：");scanf("%d", &n);hannuota(n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}

参考自：
YIHE陳