人工智能——与或图的搜索

与或图的搜索

与或图是一个超图，节点间通过连接符连接

超图（Hypergraph）是什么

简单的来说，对于我们熟悉的图而言，它的一个边（edge）只能和两个顶点连接；而对于超图来讲，人们定义它的边（这里叫超边，hyperedge）可以和任意个数的顶点连接。一个图和超图的示意图如下所示：

而对于超图的一个严格的数学定义，维基百科上是这样写的：

In mathematics, a hypergraph is a generalization of a graph, where an edge can connect any number of vertices. Formally, a hypergraph H is a pair H = (X,E) where X is a set of elements, called nodes or vertices, and E is a set of non-empty subsets of X called hyperedges or links.

k-均匀超图（k-uniform hypergraph）

对于超图而言，还有一个k-均匀超图的概念（k-uniform hypergraph）。它指超图的每个边连接的顶点个数都是相同的，即为个数k。所以2-均匀超图就是我们传统意义上的图，3-均匀超图就是一个三元组的集合，以此类推。

此段摘自： http://blog.csdn.net/raodotcong/article/details/6429991

耗散值的计算：

k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集 Cn为连接符的耗散值

能解节点：

终节点是能解节点
若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子节点至少有一能解时，该非终节点才能解。
若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子节点均能解时，该非终节点才能解。

不能解节点：

没有后裔的非终节点是不能解节点。
若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子节点均不能解时，该非终节点才不能解。
若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个子节点不能解时，该非终节点才能解。

与或图（树）表示三解梵塔问题

其中（1，1，1）表示CBA三个环都套在第一个杆上，我们的目标是将CBA都移动到第三个杆上，即变为（3，3，3）

与或图的启发式搜索算法（AO*算法）：

两个过程：1、图生成过程，即扩展节点 2、计算耗散值的过程

博弈树搜索：

博弈问题特点：

1、双人对弈，轮流走步

2、信息完备，双方所得到的信息是一样的

3、零和，即对一方有利的棋，对另一方肯定是不利的，不存在对双方均有利或无利的棋

博弈的特性：

1、两个棋手交替地走棋

2、比赛的最终结果，是赢、输和平局中的一种

3、可用图搜索技术进行，但效率很低

4、博弈的过程，是寻找置对手于必败态的过程

5、双方都无法干预对方的选择

例：

Grundy博弈

Grundy博弈是一个分钱币的游戏。有一堆数目为N的钱币，由两位选手轮流进行分堆，要求每个选手每次只把其中某一堆分成数目不等的两小堆。例如，选手甲把N分成两堆后，轮到选手乙就可以挑其中一堆来分，如此进行下去，直到有一位选手无法把钱币再分成不相等的两堆时就得认输。

例2：

Grundy博弈是取石子的游戏。有一堆数目为N（=15）的石子，由两位选手轮流进行选取，要求每个选手每次只能选取1、或2、或3个石子、拾取最后一个石子的为胜者。设计一种获胜策略。

答：1、先选取；
2、（15）-12-（9、10、11）-8-（5、6、7）-4-（3、2、1）

极小极大搜索过程

中国象棋：

对各个局面进行评估
评估的目的：对后面的状态提前进行考虑，并且以各种状态的评估值为基础作出最好的走棋选择。
评估的方法：用评价函数对棋局进行评估。赢的评估值设为+∞，输的评估值设为-∞，平局的评估值设为0。
评估的标准：由于下棋的双方是对立的，只能选择其中一方为评估的标准方。

由于正方和反方是交替走步的，因此MAX节点和MIN节点会交替出现。

正方（MAX节点）从所有子节点中，选取具有最大评估值的节点。
反方（MIN节点）从其所有子节点中，选取具有最小评估值的节点。
反复进行这种选取，就可以得到双方各个节点的评估值。这种确定棋步的方法，称为极小极大搜索法。

例：

设有一个摆放三个子的棋盘残局，如下图所示，〇和╳在结束前有三步棋可以走，而且设走第一步的是╳ 。这时存在着三个空格A，B，C，用博弈树搜索算法判断应该把棋子放到哪一格内。

所以，对于棋盘残局中的╳来说，最好的选择，是将╳放在C的位置上，这时可以导致平局局面。

α-β搜索过程

出现原因：

在极小极大法中，必须求出所有终端节点的评估值，当预先考虑的棋步比较多时，计算量会大大增加。为了提高搜索的效率，引入了通过对评估值的上下限进行估计，从而减少需进行评估的节点范围的α-β剪支法。

MAX节点的评估下限值α：

作为正方出现的MAX节点，假设它的MIN子节点有N个，那么当它的第一个MIN子节点的评估值为α时，则对于其它的子节点，如果有高过的，就取那最高的值作为该MAX节点的评估值；如果没有，则该MAX节点的评估值为α。

MIN节点的评估上限值β：

作为反方出现的MIN节点，假设它的MAX子节点有N个，那么当它的第一个MAX子节点的评估值为β时，则对于其它子节点，如果有低于的，就取那个低于的值作为该MIN节点的评估值；如果没有，则该MIN节点的评估值取β

α剪支法：

设MAX节点的下限为α，则其所有的MIN子节点中，其评估值的β上限小于等于α的节点，其以下部分的搜索都可以停止了，即对这部分节点进行了α剪支。

β剪支法：

设MIN节点的上限为β，则其所有的MAX子节点中，其评估值的α下限大于等于β的节点，其以下部分的搜索都可以停止了，即对这部分节点进行了β剪支。

改进：

改进1：

使用-剪支技术，当不满足剪支条件(即)时或值比值大不了多少或极相近时，这时也可以进行剪支，以便有条件把搜索集中到会带来更大效果的其他路径上，这就是中止对效益不大的一些子树的搜索，以提高搜索效率。

改进2：

不严格限制搜索的深度。当到达深度限制时，如出现博弈格局有可能发生较大变化时，则应多搜索几层，使格局进入较稳定状态后再中止，这样可使倒推值计算的结果比较合理，避免考虑不充分产生的影响，这是等候状态平稳后中止搜索的方法。

改进3：

当算法给出所选的走步后，不要马上停止搜索，而是在原先估计可能的路径上再往前搜索几步，再次检验会不会出现意外，这是一种增添辅助搜索的方法。

改进4：

对某些博弈的开局阶段和残局阶段，往往总结了一些固定的对弈模式，因此可以利用这些知识编好走步表，以便在开局和结局时使用查表法。只是在进入中盘阶段后，再调用其他有效的搜索算法，来选择最优的走步。

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