两块钱买来的常数变易法

昨晚回味了一下微分方程，对其中提到的专门解决“一阶线性非齐次微分方程”的“常数变易法”仍不甚理解，网上查了查，免费资源稀缺得可怜，而且有不少筒子和我一样的困惑：凭什么那个u（x）可以代替常数c？思量了一阵后，决定在维普买一篇论文来啃啃。选中了崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》。看完后果然豁然开朗。一分价钱一份货，掏钱买来的知识到底是系统和通透些。

a. 一阶是指未知数导数最高只有一阶（即y’）；线性是指未知数各阶导数的次数都1；齐次是指微分方程的各项关于未知数的阶数和都是相等的。比如y’+p(x)y=q(x),如果q(x)等于0那么就是齐次的，因为各项未知数的阶数和都是1，如果q(x)不等于0就是非齐次的，因为等号右边的一项未知数的次数为0，而左边都为1，不等，所以是非齐次。这是这块知识的一些基本常识概念，这里作个小贴士。

b.原来这方法是拉格朗日花十一年研究出来的，不容易，看不懂是应该的。

c.此方法最想达到的目的是“分离变量”，因此可以说之后的推导都是为了能够得到可以分离的变量做出的种种努力。

d.直接分离分不开，然而按照齐次方程的思路：设y=ux做代换还是分不开。这样的机械模仿思维行不通。不过可以尝试设y=uv,其中u和v都是x的函数。顺着这个思路便可以达到目的，不过这个思路是变量代换法的开端。

e.解决这个问题其实有两种：变量代换法和常数变易法。且后者是由前者发展而来的。两种方法在解一阶非齐次线性微分方程时并无差异，不过在解决高阶线性微分方程时常数变易法就会有巨大优势。而且常数变易法比变量代换法容易掌握，因此很多教科书都采用它。

这个方法被我描述的比较烂，想知道详情的筒子们还是看原文好了。不过为了避免惹上什么麻烦，想要的请留下各位的邮箱或者直接问我要（lookof@126.com）。有空我会再把这个渊源解释得再详细些。

posted on 2008-12-25 23:09 lookof 阅读(...) 评论(...) 编辑收藏

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