一篇文章看透母函数、矩、矩母函数联系与区别

矩母函数？是《概率论》里面一个重要的定义，对统计学和当前AI底层的算法原理理解都是非常有帮助的。全文基于自己的理解，仅供社区朋友共同学习，文章不会罗列公式，对小白绝对友善。温馨提示：数学大佬可以直接跳过不看哦~

导读

矩母函数，英文全称为Moment Generating Function，简称MGF。以下全文将基于自己对概率论的理解对矩母函数进行简单的分析，尽努力地把母函数、矩、矩母函数以及特征函数解析清楚。这是一次随机过程的作业，不出意外，我是第一次看到这几个名词，不理解但是觉得很酷。先翻看百度百科以及维基百科的解释吧，生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。看完这解释，我觉得感觉自己要上天了，叹息自己水平不够理解不了百度高屋建瓴的诠析。经过这几天的查资料文献，现在做一下整理吧。接下来我将正式解释母函数、矩、矩母函数的联系与区别，我相信，看完以后至少会使得我们对矩母函数的理解有一个具体的模型概念。

Party1:母函数

对于母函数 。首先下面我会通过它的提出、母函数的公式以及母函数的应用这三个方面来解释母函数。
　　任何事物的提出都是有背景的，对于母函数的提出，我先举个生活中的小例子：手上有两个骰子，问：两个骰子投掷出的点数相加等于6时有多少种可能？明显口算就可以轻松得出答案，组合可能为（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1），共5种。这个例子非常简单，小孩子也能回答。好，我把例子稍微改动一下：现在我手上有100个骰子，全部骰子点数相加等于360点，问有几种可能？这个手算可能会无聊而且耗时，但是实质上我们还是很容易地列出所有的组合可能的，毕竟跟上面的例子相比较仅仅是数目加倍罢了，也可以利用计算机编程很快得出答案。说了这么久，有些人会觉得不屑，来终极目标来了。现在投掷m个骰子，要求所有骰子点数相加等于n，问：一共有几种可能。这问题罗列法是没办法解决的，毕竟切入点也找不到。为了解释母函数的提出背景，我先用特殊推导一般的方法。令m=2，明显这时2≤n≤12，问题就是列出□+□=n的所有组合情况。那好，理解了情景，接下来我们把两个骰子组合的点数相加看做一个策略问题，相当于先投一个，再投一个，并且用X1、X2…X6X ^1、X^2…X^6X1、X2…X6分别表示单个骰子的所有可能情况。不妨把每个骰子点数的所有可能加起来然后再相乘试下，得到
　　
(X1+X2+X3+X4+X5+X6)∗(X1+X2+X3+X4+X5+X6)(X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 )*(X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 )(X1+X2+X3+X4+X5+X6)∗(X1+X2+X3+X4+X5+X6)

=X2+2X3+3X4+4X5+5X6+6X7+⋯X12,=X^2+2X^3+3X^4+4X^5+5X^6+6X^7+⋯X^{12},=X2+2X3+3X4+4X5+5X6+6X7+⋯X12,
　　　　
仔细观察，不难发现当结果中X6X^6X6前面的系数 5 恰好就是上面第一个例子的组合可能，不妨大胆猜想，XcX^cXc前面的系数就是所有骰子的组合可能数，明显，经过验证，其他的情况也遵循这一规律，到此为止，母函数的提出背景以及母函数的提出意义已经解释完毕，当然这里我并没有对母函数公式做推导，这只是我对母函数公式做一个说明罢了。这里，我们回到最初的问题：m个骰子投掷出n点有几种可能？应用母函数概念得，

（X1+X2+X3+X4+X5+X6）∗（X1+X2+X3+X4+X5+X6）＊…∗（X1+X2+X3+X4+X5+X6）（X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 ）*（X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 ）＊…*（X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 ）（X1+X2+X3+X4+X5+X6）∗（X1+X2+X3+X4+X5+X6）＊…∗（X1+X2+X3+X4+X5+X6）
=□X1+□X2+□X3+□X4+□X5+⋯=□X^1+□X^2+□X^3+□X^4+□X^5+⋯=□X1+□X2+□X3+□X4+□X5+⋯

展开得到:
G(X)=a1X1+a2X2+a3X3+⋯+anXn+⋯G(X)=a_1X^1+a_2X^2+a_3X^3+⋯+a_nX^n+⋯G(X)=a1X1+a2X2+a3X3+⋯+anXn+⋯，G(x)G(x)G(x)则称为系数a1、a2、a3、…、an、…a_1、a_2、a_3、…、a_n、…a1、a2、a3、…、an、…的母函数。

Party2:矩

对于矩。首先引入“中国福利彩票”作为线索去讲解，福利彩票我相信大多数人都买过，2块钱，仔细观察，中国的福利彩票真的太良心了，不仅仅是用2块钱可以中5块、100块、甚至500万，最重要是这彩票的价格根本不变啊。目前猪肉的价格热度讨论很是剧烈，那就以猪肉近十年的统计结果为例，2008到2018年猪肉价格基本在14块钱左右波动，在2016年的时候也曾经涨到25块钱；同样，再看下一线城市近十年的房价走势，2008年平均1w每平方米左右，然后指数爆炸式上涨，到了2017年最低都3w每平方米，高的甚至达到8w每平方米，这物价增长速度简直惊人。回到福利彩票，单价一直都是2块钱，又可以中大奖，够良心了吧。对于彩票，我们得知，5块、100块和500万的中奖几率分别为10%、0.5%和0.00001%，这样我们可以把中奖金额-中奖概率做一个杠杆天平量化，天平中间0刻度表示中奖概率为0，两端刻度表示中奖概率为1，杠杆上挂的“砝码”重量表示中奖金额。根据物理公式得知
m左∗l左=m右∗l右m_{左}*l_{左}=m_{右}*l_{右} m左∗l左=m右∗l右　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　虽然左边500w的“砝码”比右边5块的“砝码”重，但是l左≪l右l_{左}≪l_{右}l左≪l右，当m左=500w,l左=0.00001m_{左}=500w,l_{左}=0.00001%，L_{右}=1m左=500w,l左=0.00001时，根据上面物理公式知，求得m右=0.5m_{右}=0.5m右=0.5块。也就是说，中奖概率为0.00001%的500w，实际上就是等于中奖概率为1的 0.5块钱，简单来说，不确定的500w就仅仅等于确定的0.5块钱。接着这个分析，把所有的不确定中奖金额转化成确定的中奖金额有：500w∗0.00001500w*0.00001500w∗0.00001%+100＊0.5%+5＊10%=1.5元，也就是说，每买2块钱的彩票我们能确定的最多只能中1.5块钱。回过头来看，那刚才说的彩票良心压根一点都不良心啊！每买2块钱就意味着我们将亏0.5元，买的越多，亏得也越多，简直黑心啊。在《概率论》中，矩的定义为：
E[xk]=∑i=1nPixk,k=1,2,3...E[x^{k}]=\sum_{i=1}^{n}P_{i}x^{k},k=1,2,3... E[xk]=i=1∑nPixk,k=1,2,3...

则称为x的k阶原点矩，简称kx的k阶原点矩，简称kx的k阶原点矩，简称k阶矩。Pi相当于前面的杠杆刻度长，xkP_i相当于前面的杠杆刻度长，x^kPi相当于前面的杠杆刻度长，xk 这里暂且作为一个整体，相当于杠杆上面挂的“砝码”重量，从公式来看，求事件的矩即是相当于求该事件的期望。
　　矩母函数的矩可以对事件作一评价量化。例如，评价一个人一辈子过得怎样。有两个数据，假设以时间段的无纲量数值为量化值：A前10年取得10成就，(10，80)区间取得30成就，(80,100)区间取得10成就；而B前10年取得20成就，(10，80)区间取得5成就，(80,100)区间取得925成就。根据矩的概念，当阶数k=1k=1k=1时，成就A=∑i=1nPixk=10∗10+70∗30+20∗10=2400成就_A=\sum_{i=1}^{n}P_{i}x^{k}=10*10+70*30+20*10=2400成就A=∑i=1nPixk=10∗10+70∗30+20∗10=2400 点；同理，成就B=∑i=1nPixk=10∗20+70∗5+20∗925=2400成就_B=\sum_{i=1}^{n}P_{i}x^{k}=10*20+70*5+20*925=2400成就B=∑i=1nPixk=10∗20+70∗5+20∗925=2400 点。从1阶矩的结果来看，虽然B中间漫长的70年期间仅仅只有5点的成就，但是却跟A最后的人生总成就结果一样。然后不妨看下阶数k=2k=2k=2时，成就A=∑i=1nPi(xk)2=10∗102+70∗302+20∗102=152000成就_A=\sum_{i=1}^{n}P_{i}{(x^k)}^2=10*10^2+70*30^2+20*10^2=152000成就A=∑i=1nPi(xk)2=10∗102+70∗302+20∗102=152000 点；同理，成就B=∑i=1nPi(xk)2=10∗202+70∗52+20∗9252=396500成就_B=\sum_{i=1}^{n}P_{i}{(x^k)}^2=10*20^2+70*5^2+20*925^2=396500成就B=∑i=1nPi(xk)2=10∗202+70∗52+20∗9252=396500 点。从2阶矩维度来看，两人的结果竟然差了2.6倍左右。所以，在量化人一辈子的生活状况可以分不同的维度来看，1阶矩结果我们可以了解到两人一生的获得成果差不多，但从2阶矩维度我们就可以了解A、B两个人一辈子里面更为细节的内容，暂且理解为生活的坎坷程度吧，明显看出来B相对于A这一辈子来说落差要更大。

Party3:矩母函数

对于矩母函数。总结上面分析得知，母函数的定义为：
G(X)=a1X1+a2X2+a3X3+⋯+anXn+⋯，G(X)=a_1 X^1+a_2 X^2+a_3 X^3+⋯+a_n X^n+⋯， G(X)=a1X1+a2X2+a3X3+⋯+anXn+⋯，
G(x)则称为a1、a2、a3、…、an、…G(x)则称为a_1 、a_2 、a_3 、…、a_n 、…G(x)则称为a1、a2、a3、…、an、…的母函数；
矩的定义为：
E[xk]=∑i=1nPixk,k=1,2,3...E[x^{k}]=\sum_{i=1}^{n}P_{i}x^{k},k=1,2,3... E[xk]=i=1∑nPixk,k=1,2,3...
接着根据《概率论》对矩母函数的定义：
M(t)=E(etx)=∑i=1np(xi)etx=p(x1)etx1+p(x2)etx2+⋯+p(xn)etxn.M(t)=E(e^{tx} )=\sum_{i=1}^{n}p(x_i )e^{tx}=p(x_1 ) e^{tx_1 }+p(x_2 ) e^{tx_2 }+⋯+p(x_n)e^{tx_n }. M(t)=E(etx)=i=1∑np(xi)etx=p(x1)etx1+p(x2)etx2+⋯+p(xn)etxn.
　　现在，我们以面带点，先跟着讲解的思维来推进。（你可以理解以下所做的都是基于恰好假设，坚持一下，后面你会觉得非常妙的！）
　　Now,Now,Now,先看连续情况下，对M(t)=E(etx)M(t)=E(e^{tx} )M(t)=E(etx)求导得，
M′(t)=dE(etx)dt=d∫−∞∞etxf(x)dxdtM^{'}(t)=\frac{dE(e^{tx})}{dt}=\frac{d\int_{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx }{dt} M′(t)=dtdE(etx)=dtd∫−∞∞etxf(x)dx
⟶积分微分可交换∫−∞∞ddtetxf(x)dx\overset{积分微分可交换}{\longrightarrow}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{d}{dt}e^{tx}f(x)dx ⟶积分微分可交换∫−∞∞dtdetxf(x)dx
⟶对t求导，与f(x)无关∫−∞∞xetxf(x)dx\overset{对t求导，与f(x)无关}{\longrightarrow}\int_{-\infty }^{\infty }xe^{tx}f(x)dx⟶对t求导，与f(x)无关∫−∞∞xetxf(x)dx
Ok,∗曙光即将来临∗Ok,*曙光即将来临*Ok,∗曙光即将来临∗->>因此，当t=0t=0t=0时，
M′(0)=∫−∞∞xf(x)dx=E(x)M^{'} (0)=\int_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=E(x) M′(0)=∫−∞∞xf(x)dx=E(x)

看出来了吗，这就是上面矩概念的1阶矩啊！！
　　因此，t=0，当k=2时：
M′′(0)=∫−∞∞x2f(x)dx=E(x2)M^{''} (0)=\int_{-\infty }^{\infty }x^2f(x)dx=E(x^2) M′′(0)=∫−∞∞x2f(x)dx=E(x2)
...... ...
以此类推，t=0t=0t=0时，M(t)M(t)M(t)的 kkk 阶导就等于E(X)E(X)E(X)的 kkk 阶矩。离散的情况大同小异，这里我直接给出来吧：
M′(0)=∑i=1nxf(x)dx=E(x)M^{'} (0)=\sum _{i=1 }^{n }xf(x)dx=E(x) M′(0)=i=1∑nxf(x)dx=E(x)

看到这里，想必我们已经对 矩母函数 有了很好地理解了，想继续深入学习的话可以自行找资料补充，后续有时间的话我会继续跟大家分享交流的。