[从头学数学] 第173节圆与方程

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了结丹初期的修炼，
这次要修炼的目标是[圆与方程]。

正剧开始：

星历2016年04月11日 15:56:41, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[圆与方程]。

已知圆心位置和半径来画圆，小伟用36边的多边形代替圆，

面积上稍微小了一点。

<span style="font-size:18px;">if (1) {var r = 20;config.setSector(1,1,1,1);config.graphPaper2D(0, 0, r);config.axis2D(0, 0, 180);var transform = new Transform();var a = 5, b = 5, r0 = 5;var array = shape.nEdge(a, b, r0, 36);var scale = r;//array = shape.angularSort(array);shape.areaDraw(transform.translate(array, -200/scale, -200/scale), 'red', scale);shape.strokeDraw([].concat(array), 'orange', scale);}>>> 3.14*25
78.5</span>

知道三个坐标求外接圆的方程，是这样求的：

<span style="font-size:18px;">  if (1) {
//求三角形的外心  var r = 20;    var r0 = 5*r;  config.setSector(1,1,1,1);      config.graphPaper2D(0, 0, r);    config.axis2D(0, 0, 180);  var triangle = new Triangle();  var transform = new Transform();  //已知三角形顶点阵列  var array = [[5, 1], [7, -3], [2, -8]]; //进行缩放转换  // array = transform.scale(array, r);  //三个顶点  var x1 = array[0][0], y1 = array[0][1],  x2 = array[1][0], y2 = array[1][1],  x3 = array[2][0], y3 = array[2][1];  //令  var A1 = 2*(x2-x1), B1 = 2*(y2-y1), C1 = x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1,  A2 = 2*(x3-x2), B2 = 2*(y3-y2), C2 = x3*x3+y3*y3-x2*x2-y2*y2;  //得到外心的坐标  var px = ((C1*B2)-(C2*B1))/((A1*B2)-(A2*B1)),  py = ((A1*C2)-(A2*C1))/((A1*B2)-(A2*B1));  //外接圆半径  var a = distance2D(array[0], array[1]),b = distance2D(array[1], array[2]),c = distance2D(array[2], array[0]);var rOut = a*b*c/Math.sqrt(4*b*b*c*c-Math.pow((b*b+c*c-a*a), 2));  //document.write(px.toFixed(2)+', '+py.toFixed(2)+'; ' + rOut.toFixed(2));  var scale = r;shape.angleDraw([].concat(array), 'red', scale);  var circle = shape.nEdge(px, py, rOut, 36);shape.strokeDraw([].concat(circle), 'blue', scale);var s = '外心: ['+px.toFixed(2)+' , ' + py.toFixed(2)+'] ';var s1 = '外接圆半径：'+rOut.toFixed(2);plot.setFillStyle('#FF2288');plot.fillText(s, -270, -170, 300);plot.fillText(s1, -270, -140, 300);}//二维坐标中两点之间的距离
function distance2D(pointA, pointB) {return Math.sqrt(Math.pow(pointA[0]-pointB[0], 2)+Math.pow(pointA[1]-pointB[1], 2));
}
</span>

再来试一个：

<span style="font-size:18px;">        //已知三角形顶点阵列  var array = [[-5, -2], [5, -2], [0, 5]]; </span>

这个还是比较好玩的。

圆的一般方程：

<span style="font-size:18px;">//圆的一般方程
function generalCircle(D, E, F) {//方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0;var rSquare = (D*D+E*E-4*F)/4;if (rSquare > 0) {return shape.nEdge(-D/2, -E/2, Math.sqrt(rSquare), 36);}else {return [];}
}//直线的一般方程
function generalLine(A, B, C) {//方程Ax+By+C = 0;return [[-100, (-100*A+C)/(-B)], [100, (100*A+C)/(-B)]];
}</span>

知道了可以做些什么呢？

如果现在已经知道了D、E、F的值：

<span style="font-size:18px;">  if (1) {var r = 20;    config.setSector(1,1,1,1);      config.graphPaper2D(0, 0, r);    config.axis2D(0, 0, 180);  var scale = r;var circle = generalCircle(-8, 6, 0);shape.strokeDraw([].concat(circle), 'blue', scale);}</span>

这就是过那三个点的圆。

D、E、F可以这样来求：

<span style="font-size:18px;">  if (1) {//运用行列式解线性方程组var matrix = new Matrix();  var matrixArray = new Array();  var rowArray = new Array();  var ma, mb, mc; //求过三点的圆的方程//[x1, y1], [x2, y2], [x3, y3]// ==> 方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0;//解D, E, Fvar point = [[0,0],[1,1],[4,2]];var x1 = point[0][0], y1 = point[0][1],x2 = point[1][0], y2 = point[1][1],x3 = point[2][0], y3 = point[2][1];//三元一次方程组[[A1,B1,C1], [A2,B2,C2], ...]var a = [[x1, y1, 1, x1*x1+y1*y1],[x2, y2, 1, x2*x2+y2*y2],[x3, y3, 1, x3*x3+y3*y3]];//三阶var rank = 3;for (var i = 0; i < rank; i++) {  matrixArray.push([a[i][0], a[i][1], a[i][2]]);  }         ma = matrix.deepCopy(matrixArray);         for (var i = 0; i < rank; i++) {  ma[i][0] = -a[i][3];  }  mb = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mb[i][1] = -a[i][3];  }  mc = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mc[i][2] = -a[i][3];  }  var d, da, db, dc;d = matrix.delta(matrixArray);  da = matrix.delta(ma);  db = matrix.delta(mb);  dc = matrix.delta(mc);  matrix.print(matrixArray);  document.write('d = ' + d+'<br/>');  matrix.print(ma);  document.write('da = ' + da+'<br/>');  matrix.print(mb);  document.write('db = '+db+'<br/>');  matrix.print(mc);  document.write('dc = '+dc+'<br/>');  var s = 'D = da/d = '+ (da/d).toFixed(2)+', E = db/d = '+(db/d).toFixed(2)+', F = dc/d = '+(dc/d).toFixed(2);  document.write(s+'<br/>');     }</span>

小伟把求DEF的过程炼制成了工具，来玩玩吧：

<span style="font-size:18px;">//求解圆的一般方程中的D、E、F三个系数
//传入的是三个点的坐标阵列
//传回[D, E, F];
function solveDEF(point) {//运用行列式解线性方程组var matrix = new Matrix();  var matrixArray = new Array();  var rowArray = new Array();  var ma, mb, mc; //求过三点的圆的方程//[x1, y1], [x2, y2], [x3, y3]// ==> 方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0;//解D, E, F//var point = [[0,0],[1,1],[4,2]];var x1 = point[0][0], y1 = point[0][1],x2 = point[1][0], y2 = point[1][1],x3 = point[2][0], y3 = point[2][1];//三元一次方程组[[A1,B1,C1], [A2,B2,C2], ...]var a = [[x1, y1, 1, x1*x1+y1*y1],[x2, y2, 1, x2*x2+y2*y2],[x3, y3, 1, x3*x3+y3*y3]];//三阶var rank = 3;for (var i = 0; i < rank; i++) {  matrixArray.push([a[i][0], a[i][1], a[i][2]]);  }         ma = matrix.deepCopy(matrixArray);         for (var i = 0; i < rank; i++) {  ma[i][0] = -a[i][3];  }  mb = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mb[i][1] = -a[i][3];  }  mc = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mc[i][2] = -a[i][3];  }  var d, da, db, dc;d = matrix.delta(matrixArray);  da = matrix.delta(ma);  db = matrix.delta(mb);  dc = matrix.delta(mc);  return [da/d, db/d, dc/d];/*matrix.print(matrixArray);  document.write('d = ' + d+'<br/>');  matrix.print(ma);  document.write('da = ' + da+'<br/>');  matrix.print(mb);  document.write('db = '+db+'<br/>');  matrix.print(mc);  document.write('dc = '+dc+'<br/>');  var s = 'D = da/d = '+ (da/d).toFixed(2)+', E = db/d = '+(db/d).toFixed(2)+', F = dc/d = '+(dc/d).toFixed(2);  document.write(s+'<br/>');   */
}</span>

<span style="font-size:18px;">  if (1) {var r = 20;    config.setSector(1,1,1,1);      config.graphPaper2D(0, 0, r);    config.axis2D(0, 0, 180);  var array = [[-5, -2], [5, -2], [0, 5]]; var DEF = solveDEF(array);var scale = r;var circle = generalCircle(DEF[0], DEF[1], DEF[2]);shape.strokeDraw([].concat(circle), 'blue', scale);shape.angleDraw([].concat(array), 'red', scale);}</span>

过A， B， C三个点的圆，没错吧。

再玩一局：

<span style="font-size:18px;">var array = [[-5, -2], [-7, -8], [4, 5]]; </span>

这三个点是偏安一方啊。

直线和圆的位置关系：

<span style="font-size:18px;">  if (1) {var r = 20;    config.setSector(1,1,1,1);      config.graphPaper2D(0, 0, r);    config.axis2D(0, 0, 180);  var scale = r;var circle = generalCircle(0, -2, -4);var line = generalLine(3, 1, -6);shape.strokeDraw([].concat(circle), 'blue', scale);shape.multiLineDraw([].concat(line), 'red', scale);}</span>

这两个圆的位置关系：

<span style="font-size:18px;">  if (1) {var r = 20;    config.setSector(1,1,1,1);      config.graphPaper2D(0, 0, r);    config.axis2D(0, 0, 180);  var scale = r;var circle_1 = generalCircle(2,8,-8),circle_2 = generalCircle(-4, -4,-2);shape.strokeDraw([].concat(circle_1), 'blue', scale);shape.strokeDraw([].concat(circle_2), 'red', scale);}</span>

至于交点坐标倒底是什么，就要另外去求了，

图上看好像是[-1,1] 和[3, -1]，也不知对不对。

[人叫板老师]也没有给出交点坐标。

这里(1.75-1.25)/(1.75+1.25) = 1/6，而1.75+1.25又恰好是PQ距离的一半。

算了，这种规律没什么意思，直接化简得了。

<span style="font-size:18px;">//二维坐标中两点之间的距离
function distance2D(pointA, pointB) {return Math.sqrt(Math.pow(pointA[0]-pointB[0], 2)+Math.pow(pointA[1]-pointB[1], 2));
}//圆的一般方程
function generalCircle(D, E, F) {//方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0;var rSquare = (D*D+E*E-4*F)/4;if (rSquare > 0) {return shape.nEdge(-D/2, -E/2, Math.sqrt(rSquare), 36);}else {return [];}
}//直线的一般方程
function generalLine(A, B, C) {//方程Ax+By+C = 0;return [[-100, (-100*A+C)/(-B)], [100, (100*A+C)/(-B)]];
}//求解圆的一般方程中的D、E、F三个系数
//传入的是三个点的坐标阵列
//传回[D, E, F];
function solveDEF(point) {//运用行列式解线性方程组var matrix = new Matrix();  var matrixArray = new Array();  var rowArray = new Array();  var ma, mb, mc; //求过三点的圆的方程//[x1, y1], [x2, y2], [x3, y3]// ==> 方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0;//解D, E, F//var point = [[0,0],[1,1],[4,2]];var x1 = point[0][0], y1 = point[0][1],x2 = point[1][0], y2 = point[1][1],x3 = point[2][0], y3 = point[2][1];//三元一次方程组[[A1,B1,C1], [A2,B2,C2], ...]var a = [[x1, y1, 1, x1*x1+y1*y1],[x2, y2, 1, x2*x2+y2*y2],[x3, y3, 1, x3*x3+y3*y3]];//三阶var rank = 3;for (var i = 0; i < rank; i++) {  matrixArray.push([a[i][0], a[i][1], a[i][2]]);  }         ma = matrix.deepCopy(matrixArray);         for (var i = 0; i < rank; i++) {  ma[i][0] = -a[i][3];  }  mb = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mb[i][1] = -a[i][3];  }  mc = matrix.deepCopy(matrixArray);  for (var i = 0; i < rank; i++) {  mc[i][2] = -a[i][3];  }  var d, da, db, dc;d = matrix.delta(matrixArray);  da = matrix.delta(ma);  db = matrix.delta(mb);  dc = matrix.delta(mc);  return [da/d, db/d, dc/d];/*matrix.print(matrixArray);  document.write('d = ' + d+'<br/>');  matrix.print(ma);  document.write('da = ' + da+'<br/>');  matrix.print(mb);  document.write('db = '+db+'<br/>');  matrix.print(mc);  document.write('dc = '+dc+'<br/>');  var s = 'D = da/d = '+ (da/d).toFixed(2)+', E = db/d = '+(db/d).toFixed(2)+', F = dc/d = '+(dc/d).toFixed(2);  document.write(s+'<br/>');   */
}</span>

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。

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