数据融合 - Data Fusion

这里我们以一个事例来举证如何来进行基础的数据融合问题？

案例

我们对同一件小物品，用了两个不同电子称来进行称重，两个称重设备的精度误差不一

具体的数据如下( measur value和standard deviation)

电子秤A : Z1 $= 30g ,\sigma 1 = 2g$ ;

电子秤B：Z2 $= 32g ,\sigma 2 = 4g$ ;

假设他们都符合正态分布(Normal distribution)，我们也可称之为高斯分布(Gaussian distribution)

那么一个标准差下的误差可以对照正态分布曲线来进行观察

以电子秤A来说，此时 $\mu = 30g,\pm 1\sigma = (28,32)$ ,说明在一个 $\sigma$ 内的概率就是68.27%

此时我们要预测结果的话，那么想象一下正常的值应该会在30~32内,另外由于电子秤A的标准差比较小，理所当然的预测结果应该偏向电子秤A的测量值。

那如果我们要从数学上找到一个最优的估计值呢？

这个时候我们就可以用到上一遍关于卡尔曼滤波-kalman gain的思想来构建预测方程。这里开始划线记重点哦，当然下面的推导过程也是比较简单的，可以让你初步了解融合的过程及理论依据！

// 这里的K就是kalman gain ，K的范围[0,1]
hat(Z) = Z1 + K*(Z2 - Z1)

如果k = 0,那么hat(Z) = Z1;同样如果k = 1,那么hat(Z) = Z2;有同学要问呢？K值如何求取呢？

我们来理一下，求K，实际就是要使hat(Z)[ $\sigma z$ ]的标准差最小

=> 继而求证，方差(hat(Z))最小 => Var[hat(Z)]最小

$=> D(Z1 + K*(Z2 - Z1))$

$=> D((1-K)*Z1 + K*Z2)$

$=> D((1-K)*Z1) + D(K*Z2)$

$=> (1-k)^{2} * D(Z1) + (k)^{2} * D(Z2)$

案例那边我们可以看出，D(Z1) = $\sigma 1^{2}$ ,D(Z2) = $\sigma 2^{2}$

$=> (1-k)^{2} * (\sigma 1)^{2}+ (k)^{2} * (\sigma 2)^{2}$

这会我要求解它的最小值，那么就要用它对dk求导然后令这个数等于0就可以求出它的极值了!

即 $\frac{d(Var[hat(Z)])}{d(k)} = 0$ ,下面对它（ $(1-k)^{2} * (\sigma 1)^{2}+ (k)^{2} * (\sigma 2)^{2}$ ）求进行导

可以得到/求导还有疑问的同学，请疑问去恶补下哦/

=> $-2(1-k) * (\sigma 1)^{2}+2k * (\sigma 2)^{2} = 0$

=> $- (\sigma 1)^{2} + k * (\sigma 1)^{2} + k * (\sigma 2)^{2} = 0$

=> $(\sigma 1)^{2} = k *( (\sigma 1)^{2} + (\sigma 2)^{2} )$

=> $k = \frac{(\sigma 1)^{2}}{ (\sigma 1)^{2} + (\sigma 2)^{2}}$ ，把 $\sigma 1,\sigma 2$ 的值带入秒秒钟求接解出k = $k = \frac{(2)^{2}}{ (2)^{2} + (4)^{2}}$ = 0.2

1.回来再看我们上面的推导公式，去求解预估值 30.4g

// 这里的K就是kalman gain ，K的范围[0,1]
hat(Z) = Z1 + K*(Z2 - Z1)hat(Z) = 30 + 0.2 *(32-30) = 30.4

2. 再去计算它的方差 $(1-k)^{2} * (\sigma 1)^{2}+ (k)^{2} * (\sigma 2)^{2}$

=> Var[hat(Z)] = $(1-0.2)^{2} * (2)^{2}+ (0.2)^{2} * (4)^{2} = 3.18$

=> $\sigma$ = $\sqrt{Var[hat(Z)]} =\sqrt{3.18}$ = 1.78

所以说最终我们的估计值或期望值就是30.4，而它的标准差是1.78

实际这个过程就叫数据融合,大家要掌握这个思想理念哦。