《信号与系统》解读第3章强大的傅里叶时域频域分析工具-3：时域信号的傅里叶变换与常见信号的频谱

1 时域周期性信号的频域傅里叶级数概述

1.1 周线性、连续信号的傅里叶级数

1.2 周期、离散信号的傅里叶级数

2 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的频谱图表达

2.1 周期性、连续信号的频谱图

2.2 周期性、离散信号的频谱图

3 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的三角函数表达式

3.1 周期性、连续信号

3.2 周期性、离散信号

4 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的复指数表达式

4.1 周期性、连续信号

4.2 周期性、离散信号

5 傅里叶级数参数的量化

5.1 周期性、连续信号

5.2 周期性、离散信号

6 常见时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数案例

1 时域周期性信号的频域傅里叶级数概述

1.1 周线性、连续信号的傅里叶级数

傅里叶分析认为：

时间上连续的、任意周期的时域信号可以分解为无限多个、离散的、非周期的、正交的复指数频域信号之和，称之为傅里叶级数。

为什么会有这个结论呢？

从定性的角度来看，周期信号是有规律的复杂信号，而频率具有倍数关系的正弦信号序列cos(n*ωt)+ i*sin(n*ωt）是具有规律的基本信号。

用无数个不同幅度的、有规律的、基本信号叠加，获得有规律复杂的周期信号，是可行的。

1.2 周期、离散信号的傅里叶级数

傅里叶分析认为：

时间上离散的、任意周期的时域信号可以分解为无限多个、离散的、周期的、正交的复指数频域信号之和，称之为离散傅里叶级数。

也就是说，周期性的离散信号，相对于周期性的连续信号而言，其频谱比连续信号的频谱更有规律性，也变成了周期信号。

所谓频谱的周期性，是指不同频率分量的幅度呈现周期性特点，而不像周期连续信号，其频谱是没有周期的。

1.3 非周期连续信号

傅里叶认为，时域非周期连续信号的频谱可以由周期连续信号的频谱推导而来。

当时域信号的周期无穷大时，周期信号就变成了非周期信号。周期无限大，就意味着时域信号的频率小，也就意味着，基波频率就无限小，同时意味着两个相邻的谐波信号之间的间距就无限小，间距无穷小，就意味着谐波的频率变成了连续。

也可以这样理解，周期信号是规律性信号，因此可以通过无限个、离散的、谐波信号组合而成，当变成无规律的非周期信号时，就需要更多的谐波信号组合而成，多到谐波频率在整个数轴空间是连续的！

2 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的频谱图表达

2.1 周期性、连续信号的频谱图

周期连续信号有2个重要的参数:

信号的周期T
信号的持续时间τ

T > τ

（1）时域信号

右边是时域信号，这里周期性的脉冲信号。

（2）频域频谱

右边是对应的傅里叶级数的频谱图，代表时域信号中包含的不同频率的复指数信号（正弦信号）的频率n*ωt以及其对应的幅度。

其中n=0的幅度表示直流分量
其中n=1的幅度表示基波频率分量
其中n>1的幅度表示其他的谐波分量
幅度是可以为负数的：如 -1 * cos(n*ωt) - i*sin(n*ωt）
频率是可以为负数的：频率为正数，表示逆时针旋转，频率为负数，表示顺时针旋转。

关于复指数信号的负幅度和负频率，请参考：

《星星之火-35：为什么傅里叶分析需要引入负频率以及负频率的物理意义是什么？》CSDN

2.2 周期性、离散信号的频谱图

周期离散信号有2个重要的参数：

信号周期内，全部采样的个数N
信号周期内，有效信号的采样的个数N1

N>N1.

如下是N=20, N1=2时的离散方波信号的频谱图：

从上图可以看出,：

频谱的离散性：

这与周期连续信号一样，表明时域信号内含的谐波频率是离散的。

频谱的周期性：

这与周期连续信号不同，周期连续信号，各个频率分量的幅值是递减的，无周期性；

而周期离散信号，各个频率分量的幅度是呈现周期性变化。

周期的大小，取决于相邻两个采样点的时间间隔，

采样的时间越小，离散的点越密集，

采样的频率越大，当采样点无限密集，就接近周期连续信号，频谱的周期也就接近无穷大，即呈现周期连续信号的频谱的非周期性特点了。

频谱的有限性：

这与周期连续信号不同，周期连续信号，也就是在一个周期T内，连续信号的采样点相当于是无限的，因此其频谱，虽然是离散的，谐波分量的个数是无限的;

而周期离散信号, 在一个周期内的采样点的个数是有限的，因此其频谱也是有限的，有限性体现在其周期性上，频谱的谐波分量的个数，就是频谱周期内的谐波数。

频谱的有限性是周期性离散信号的一个很重要的优点，通过有限的谐波频率，就可再现周期性离散信号，节省了网络带宽。

时域的离散性是周期性离散信号的另一个很重要的优点，而累积和替代连续信号的积分，非常便于计算机处理。

周期性离散信号是计算机数字通信中最重要的一种时域信号形式。

在计算机数字信号处理中，对于连续信号，也先通过采样的手段，把连续信号先转换成离散信号。采样后，不仅仅利于计算机处理，还节省了恢复信号是所需的频谱资源。

2.3 非周期、连续信号

从频谱上看，时域上非周期、连续信号信号，其基波信号的频率是无限接近于0，相邻谐波信号的频率间隔接近于0，是频谱是连续的。

2.4 非周期、离散信号

时域的非周期性导致频域频谱的连续性，需要无线连续的谐波分量来组合没有规律的时域非周期信号。

时域的离散性导致频域频谱的周期性，规律性，这是时域离散性带来的好处。

3 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的三角函数表达式

3.1 周期性、连续信号

假设时域周期连续信号f(t)的周期为T

$x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{[An.xcos(n*wt) + i*An.ysin(n*wt)]}$

此级数公式表明：时域信号f(t)可以由无数个频域的正弦信号组成。

3.2 周期性、离散信号

$x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{[An.xcos(n*wt) + i*An.ysin(n*wt)]}$

3.3 非周期、连续信号

$x(t) = \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}{[A.x*cos(wt) + i*A.y*sin(wt)] dw}$

3.4 非周期、离散信号

4 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的复指数表达式

4.1 周期性、连续信号

$x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{An*e^{j*nwt}}$

此级数公式表明：时域信号f(t)可以由无数个频域的复指数信号组成。

4.2 周期性、离散信号

（1）傅里叶级数复指数信号集

（2）傅里叶级数复指数表达

4.3 非周期、连续信号

上述数学表达式表示：

时域上没有规律的非周期连续信号，由无限多个谐波信号 $e^{jwt}$ 构成，每个信号的频率ω是一个挨着一个的、连续的，频率间隔无限小或者说没有间隔，因此n =》dω，用, 因此每个谐波信号的幅度也不在是离散的，而是连续的，用X(jw）表示，因为没有谐波频率之间没有时间间隔，因此了积分 $\int$ 替代了累计和 $\sum$ 。

4.4 非周期、离散信号

非周期、离散信号可以由周期、离散信号演变而来，扩展周期离散信号的周期到无穷大。

5 傅里叶级数参数的量化

5.1 周期性、连续信号

为了简化讨论，这里以正频率为例，负频率是与正频率对称的，有一个正频率ω，就有一个对应的负频率-ω。

（1）频率的量化:

直流分量的频率：n=0， n*ω = 0；
正弦基波的频率： n=1， ω = 1* ω = 2πf = 2π/T；
正弦谐波的频率： n>1， ωn = n * ω = n* 2π/T

（2）幅度的量化

直流分量的幅度

正弦谐波实信号幅度

$An.x = +1/T * \int_0^T x(t) *cos(nwt) ; n=0,1,2,3,4,5.....$

正弦谐波虚信号幅度

$An.y = -1/T * \int_0^T x(t) *sin(nwt); n=0,1,2,3,4,5.....$

5.2 周期性、离散信号

5.3 非周期性、连续信号

由于非周期连续信号的频谱是连续的，其幅度不再用Ak表示，是而是X(jω)表示，X是jω的复变函数。

5.4 非周期性、离散信号

6 常见时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数案例

6.1 周期性连续信号

（1）普通正弦函数的频谱图

单一频率的正弦或余弦信号，又称为单音信号。

可以用三角函数表示，此时的频谱是单一的正频率。

正弦信号或余弦信号本身也可以用复指数表示：包括一对绝对值相等、符号相反的频率。

（2）周期矩形脉冲信号

脉冲宽度不变，周期变大

脉冲宽度不变，时域信号的周期T变化，影响的频域信号的基波频率和各个谐波信号的频率。T越大，基波频率越小，谐波频率越密集。

矩形脉冲周期不变，脉冲宽度变化小

周期不变，时域信号脉冲宽度t, 影响的是时域信号在周期内T内的积分值。 t越大，一个周内内的能量越大，各个谐波分量的幅度就越大。

（3）周期三角脉冲信号

6.3 非周性连续信号

（1）冲击脉冲信号

时域上看，持续时间无穷小。

频域上看，包含所有频率值的谐波，频率值是连续。每个谐波频率的幅度为1.

也可以这样理解：脉冲信号，是瞬间发生、瞬间消失的脉冲信号，因此其频率变化无穷大，因此包含频率值从0到无穷大的所有的谐波分量。

（2）直流分量

时域上看：可以看成是周期无穷小的信号信号，导致其幅度值一直不变化。

频域上看：因为信号的幅度一直不变化，说明此时域信号不包含任何频率ω会发生变化的交流分量，说明只包含频率ω=0的分量，即直流分量。

这就是为什么，频谱图上只看到ω=0处的幅度。

（3）单位矩形脉冲

很显然，单个的矩形脉冲与周期性的矩形矩形脉冲：

相同点：图形的包络是相似的。都是sinc函数，即辛格函数。注意：不是sin函数。

区别是：单个的矩形脉冲的频谱是连续的，周期性的矩形矩形脉冲的频谱是离散的。

6.4 非周性离散信号

（1）单位脉冲信号

（2）矩形脉冲信号

其他参考：

（1）sinc函数

(2) 不同变换汇总

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