线性代数 --- 如何用行置换矩阵(P)和列置换矩阵(Q)对矩阵进行操作？

在前面，我曾经写过一篇个人的学习笔记，叫《如何用行向量和列向量对矩阵进行操作》

线性代数 --- 如何用行向量和列向量对矩阵进行操作？（个人笔记扫描版）_松下J27的博客-CSDN博客_矩阵左乘行向量如何用行向量和列向量对矩阵进行操作https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/120485571 当时我写这篇文章的时候，我只知道矩阵的这种操作方法。后面，我接触了置换矩阵，还有矩阵的LU分解，我发，还可以用矩阵的对矩阵进行行操作和列操作。有人说，这不是废话吗？但我这里要强调的操作，仅限交换。因为，交换操作非常直观，而且很好理解。不像矩阵与矩阵的乘法那么难懂。同时，我还要在这篇文章里展示一下向量对矩阵的行操作和列操作，同样，也只是交换。因为，后面我们会看到，置换矩阵中的每行每列都来自于我们前面提到的特殊向量。

先从向量对矩阵的操作开始：

前乘行，行操作

$vA=b$

在我的学习文档中，我当时强调的主要是线性组合的概念，但实际上行与行/列于列之间的交换就是一种线性组合。如下，用行向量v=[1 0 0]，乘以单位矩阵I，得到第一行。

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \end{bmatrix}\$

Matlab code:

%行向量乘以单位矩阵
I = eye(3)
v=[1 0 0]
v*I

后乘列，列操作

$Av=b$

用列向量v=[0 1 0]'，乘以单位矩阵I，得到第二列。

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1\\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\0 \end{bmatrix}$

Matlab code:

%列向量乘以单位矩阵
I = eye(3)
v=[0 1 0]'
I*v

这里顺便说一句，写道后面我才想起来，任何向量或者矩阵和单位矩阵相乘都不变。。。。所以，上面的两个例子，不是太好，大家可以用matlab code自行尝试。

前乘P，行交换（P为行交换矩阵）

$PA=B$

对于一个3x3的矩阵，如果我们要进行行交换，比如说交换第一行和第二行。我们可以定义一个行置换矩阵P21，其下标表示的是你要交换的行数，P21就表示第一，二行互换。然后用P21前（左）乘需要进行行交换的矩阵A，就能实现A的行交换。如下：

$P_{21}\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2& 2 &2 \\ 3&3 &3 \end{bmatrix} = B\begin{bmatrix} 2 &2 &2 \\ 1 &1 &1 \\ 3 &3 &3 \end{bmatrix}$

注意：要想得到行置换矩阵P21，只需交换单位矩阵的第二行和第一行即可。

Matlab code:

%P乘以矩阵，实现行交换矩阵
A=[1 1 1;2 2 2;3 3 3]
P21=[0 1 0;1 0 0;0 0 1]
P21*A

后乘Q，列交换（Q为列交换矩阵）

$AQ=B$

对于一个3x3的矩阵，如果我们要进行列交换，比如说交换第一列和第三列。我们可以定义一个列置换矩阵Q31，它的下标表示的是你要交换的列数，Q31表示第一，三列互换。如下：

$A \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 1& 2 &3 \\1&2 &3 \end{bmatrix}Q_{31}\begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0& 1 &0 \\ 1&0 &0 \end{bmatrix} = B\begin{bmatrix} 3 &2 &1 \\ 3 &2 &1 \\ 3 &2 &1 \end{bmatrix}$

注意：要想得到列置换矩阵Q31，只需交换单位矩阵的第三列和第一列即可。

Matlab code:

%Q乘以矩阵，实现列交换矩阵
A=[1 2 3;1 2 3;1 2 3]
Q31=[0 0 1;0 1 0;1 0 0]
A*Q31

（全文完）

作者 --- 松下J27

格言摘抄：两点之间最长的距离就是捷径。（谚语）

（配图与本文无关）