Python威布尔分布

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威布尔分布及其性质
在Python中生成威布尔分布的随机数
指数分布和拉普拉斯分布的对比

威布尔分布及其性质

威布尔分布，即Weibull distribution，又被译为韦伯分布、韦布尔分布等，是仅分布在正半轴的连续分布。

在numpy.random中，提供了按照威布尔分布生成的随机数生成器，并且提供了与威布尔分布关系密切的瑞利分布、指数分布以及拉普拉斯分布，列表如下

函数		概率密度表达式
weibull(a[,scale])	威布尔分布	p(x)=aλ(xλ)a−1e−(x/λ)ap(x)=\frac{a}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{a-1}e^{-(x/\lambda)^a}p(x)=λa(λx)a−1e−(x/λ)a
rayleigh([scale])	瑞利分布	p(x)=xλ2exp⁡[−x22λ2]p(x)=\frac{x}{\lambda^2}\exp[\frac{-x^2}{2\lambda^2}]p(x)=λ2xexp[2λ2−x2]
exponential([scale])	指数分布	f(x)=1λexp⁡−xλf(x)=\frac{1}{\lambda}\exp{-\frac{x}{\lambda}}f(x)=λ1exp−λx
laplace([loc, scale])	拉普拉斯分布	f(x)=12λexp⁡[−∣x−μ∣λ]f(x)=\frac{1}{2\lambda}\exp[-\frac{\vert x-\mu\vert}{\lambda}]f(x)=2λ1exp[−λ∣x−μ∣]

上表中，概率密度表达式中的λ\lambdaλ即为函数中的scale，μ\muμ对应函数参数中的loc。

根据概率密度表达式，可以发现，当a=2a=2a=2时，威布尔分布变为瑞利分布；当a=1a=1a=1时，变为指数分布。

若将指数分布的中心移动到μ\muμ，同时延展到整个坐标轴，那么就会变成Laplace分布。

威布尔分布具有如下性质：

其均值为

E=λΓ(1+1a)E=\lambda\Gamma(1+\frac{1}{a})E=λΓ(1+a1)

方差为

S2=λ2[Γ(1+2a)−Γ(1+1a)2]S^2=\lambda^2[\Gamma(1+\frac{2}{a})-\Gamma(1+\frac{1}{a})^2]S2=λ2[Γ(1+a2)−Γ(1+a1)2]

偏度为

2Γ(1+1a)3−3Γ(1+2a)Γ(1+1a)+Γ(1+3ai=)[Γ(1+2a)−Γ(1+1a)2]3/2\frac{2\Gamma(1+\frac{1}{a})^3-3\Gamma(1+\frac{2}{a})\Gamma(1+\frac{1}{a})+\Gamma(1+\frac{3}{ai=})}{[\Gamma(1+\frac{2}{a})-\Gamma(1+\frac{1}{a})^2]^{3/2}}[Γ(1+a2)−Γ(1+a1)2]3/22Γ(1+a1)3−3Γ(1+a2)Γ(1+a1)+Γ(1+ai=3)

峰度为

−3Γ(1+1a)4+6Γ(1+2a)Γ(1+1a)2−4Γ(1+3a)Γ(1+1a)+Γ(1+4a)[Γ(1+2a)−Γ(1+1a)2]2\frac{-3\Gamma(1+\frac{1}{a})^4+6\Gamma(1+\frac{2}{a})\Gamma(1+\frac{1}{a})^2-4\Gamma(1+\frac{3}{a})\Gamma(1+\frac{1}{a})+\Gamma(1+\frac{4}{a})}{[\Gamma(1+\frac{2}{a})-\Gamma(1+\frac{1}{a})^2]^2}[Γ(1+a2)−Γ(1+a1)2]2−3Γ(1+a1)4+6Γ(1+a2)Γ(1+a1)2−4Γ(1+a3)Γ(1+a1)+Γ(1+a4)

在Python中生成威布尔分布的随机数

接下来生成不同a值时的威布尔分布，

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltfig = plt.figure("Weibull Distribution")
for i in range(1,5):ax = fig.add_subplot(2,2,i)xs = np.random.weibull(i,size=1000)ax.set_title(f"a={i}")plt.hist(xs,100)plt.show()

可以看到，随着aaa不断变大，威布尔分布逐渐向右移动。

指数分布和拉普拉斯分布的对比

接下来对比一下指数分布和拉普拉斯分布

fig = plt.figure()xs1 = np.random.exponential(1, size=1000)
xs2 = np.random.laplace(0, 1, size=1000)
ax1 = fig.add_subplot(1,2,1)
ax1.hist(xs1, 100)
ax1.set_title("exponential")ax2 = fig.add_subplot(1,2,2)
ax2.hist(xs2, 100)
ax2.set_title("laplace")
plt.show()

效果为