Random Walk Model

1 模型及性质简介

给定一随机变量u(i)={1,−1}u(i)={\{1, -1\}}u(i)={1,−1}
随机游走模型可表示为随时间ttt变化的函数y(t)=∑i=1tu(i)y(t)=\sum_{i=1}^{t} u(i)y(t)=i=1∑tu(i)
几条随机游走可视化路线如下
性质一： ⟨y(t)⟩=0\left \langle y(t) \right \rangle = 0⟨y(t)⟩=0，即y(t)y(t)y(t)在ttt时刻均值为0
性质二： ⟨y2(t)⟩=t\left \langle y^2(t) \right \rangle = t⟨y2(t)⟩=t，即y(t)y(t)y(t)在ttt时刻方差为t，标准差与t\sqrt{t}t成正比
性质二证明如下：
⟨y2(t)⟩=⟨(∑i=1tu(i))2⟩=⟨∑i=1t∑j=1t(u(i)u(j))⟩=∑i=1t∑j=1t⟨u(i)u(j)⟩=t\left \langle y^2(t) \right \rangle = \left \langle (\sum_{i=1}^t u(i))^2 \right \rangle = \left \langle \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^t (u(i)u(j)) \right \rangle = \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^t \left \langle u(i) u(j) \right \rangle = t ⟨y2(t)⟩=⟨(i=1∑tu(i))2⟩=⟨i=1∑tj=1∑t(u(i)u(j))⟩=i=1∑tj=1∑t⟨u(i)u(j)⟩=t
⟨u(i)u(j)⟩=0\left \langle u(i) u(j) \right \rangle = 0⟨u(i)u(j)⟩=0 for i≠ji \neq ji=j
⟨u(i)u(j)⟩=1\left \langle u(i) u(j) \right \rangle = 1⟨u(i)u(j)⟩=1 for i=ji = ji=j

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