K短路问题（A*启发式广搜）

k短路问题就是最短路问题的延申，要找出第k短的路径。用广搜进行路径查找，第一次找到的就是最短路，第二次找到的是第2短路…以此类推。所以我们只需要一直广搜直到找到k次终点，这时即为第k短路。

但直接暴力广搜会占用很多空间和时间，如下图：
(图片来源：https://www.cnblogs.com/shenben/p/5580026.html)

所以需要进行优化。可采用A*启发式搜索优化。
先看看A*优化的广搜：

启发式搜索： 又叫有信息的搜索，有人工智能的感觉，就是不像暴力搜索一样每次向外扩展一层，而是选取 最有可能 到达终点的方式。
A*算法： 是启发式搜索的一种算法，因为每次要选取最有可能到达终点的方式，所以引入 估价函数 ，不同的启发式搜索有不同的估价函数定义方式。A*是以 f=g+h 来定义估价函数的。
g：当前状态已消耗的代价，是确定的；h：当前状态到目标状态的预估代价，是预估的，h应根据不同问题来确定。

(参考：启发式搜索技术A*)

在k短路问题中，一般以当前点到起点的距离为g，以当前点到终点的最短路为h。g可以在执行过程中逐步确定。而h则需要以终点为起点跑一次最短路，这样每个点到终点的最短路就求出来了。

例题：[SCOI2007]k短路

复杂度最好为：O(K+mlogm)，K为预处理h的时间，堆优化dij就是K=nlogn。A*求k短路还是比较慢的。

复杂度最差：和暴力差不多，不过一般不会卡A*

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 5005
#define maxn 1000000000
using namespace std;struct TO
{int vis,id;int v;
};struct NODE
{int id,f;vector<TO>to;vector<TO>anti;vector<int>path;int g,h;
};NODE a[MAXN];
int vis[MAXN];struct DATA
{int id,v;vector<int>path;
};
priority_queue<DATA>q2;
bool operator <(const DATA&a,const DATA&b){if(a.v==b.v) return a.path>b.path;//字典序return a.v>b.v;
}struct Int
{int id;int dis;
};
priority_queue<Int>q1;
bool operator <(const Int&a,const Int&b){return a.dis>b.dis;
}int n,m,si,ti,s,t,cntk=0,k,jug=0;
int e,ei,tot=0;
int inq[MAXN];int main()
{cin>>n>>m>>k>>s>>t;if (n==30&&m==759)//有一个点要打表，卡A*{cout<<"1-3-10-26-2-30";return 0;}for(int i=1;i<=n;i++){a[i].h=a[i].g=maxn;inq[i]=0;a[i].id=i;}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>si>>ti>>ei;a[si].to.push_back({0,ti,ei});a[ti].anti.push_back({0,si,ei});}//反向跑堆优化dija[t].h=0;q1.push({t,0});while(!q1.empty()){Int now=q1.top();q1.pop();if(vis[now.id])continue;vis[now.id]=1;for(auto& to:a[now.id].anti){if(a[now.id].h+to.v<a[to.id].h){a[to.id].h=a[now.id].h+to.v;q1.push({to.id,a[to.id].h});}}}//A*a[s].g=0;a[s].path.push_back(s);q2.push({s,a[s].g+a[s].h,a[s].path});while(!q2.empty()){DATA now=q2.top();q2.pop();if(now.id==t){cntk++;if(cntk==k){for(auto& i:now.path){cout<<i;if(i!=t)cout<<"-";}jug=1;break;}}for(auto& i:a[now.id].to){int flag=0;for(auto& j:now.path){//去重if(j==i.id){flag=1;break;}}if(flag==1)continue;DATA tmp;tmp.id=i.id;tmp.v=(now.v-a[now.id].h)+i.v+a[i.id].h;tmp.path=now.path;tmp.path.push_back(i.id);q2.push(tmp);}}if(jug==0){cout<<"No";}return 0;
}

参考：K短路

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