本发明涉及图像处理技术领域，具体涉及一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪方法。

背景技术：

图像复原(imagerestoration)即利用退化过程的先验知识，去恢复已被退化图像的本来面目。图像复原技术主要是针对成像过程中的“退化”而提出来的，在成像过程中会受到各种因素的影响导致图像质量的降低，称之为“退化”，而图像的退化主要是由系统的相关特性以及噪声两方面的因素所导致的。图像质量的退化会严重影响图像的后续处理，针对退化图像，首先根据原有的先验知识，就退化过程建立一个数学退化模型，然后采用模型进行逆处理来恢复图像，同时应用一些特定算法判定图像恢复的效果。图像复原成为图像处理领域的一个热点问题，如何减少图像中的噪声点和恢复原始图像的问题对图像处理过程具有重要意义，而其中研究去噪算法优化和去噪模型是问题的关键。如今，图像复原也广泛在很多应用中崭露头角，例如现在每个手机相机中自带的美颜功能，能够自动去除痘痘疤痕等斑点，还能加各种滤镜，还有新出的去雨、去雾等功能具有重要的应用价值和研究前景。

全变分，也称全变差，是图像复原中最常用的一个，最直接最有效的应用于图像复原。全变分模型是一个依靠梯度下降对图像进行平滑同时保护边缘的模型，它由正则项和保真项两部分组成，既能去除噪声又能尽可能与原图像近似。虽然全变分模型对图像有复原效果，但是此模型仅考虑垂直和水平方向的梯度信息，没有充分考虑像素的邻域信息，从而忽略了图像一些结构信息，导致图像复原效果不理想。所以需要提出一种方法来提升图像复原效果，解决传统全变分模型的缺点，改善复原图像的视觉效果。

技术实现要素：

本发明的目的是针对传统全变分复原模型所存在的缺点，提出一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪方法，能够产生更清晰的边缘和结构，改善复原图像的视觉效果。

为实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：所述的一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪方法，包括以下步骤：

一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1：构建全变分去噪模型，并转成对偶形式；

步骤2：将待恢复的模糊图像转成二维矩阵，输入到所述全变分去噪模型中；

步骤3：通过一阶前向后向算法求解所述全变分去噪模型，得到所述模糊图像的原始图像。

进一步的，步骤1中所述全变分去噪模型为：

对偶型式为：

其中，u是x的对偶变量，g(x)为全变分去噪模型的正则项，在优化过程中抑制噪声，f(x)是全变分去噪模型的保真项，用于保持去噪后图像与观测图像的相似性，为f的对偶，l为模糊矩阵，l*是l的共轭，||·||v表示v范数，g为观测图像。

进一步的，步骤3的具体步骤包括：

步骤3.1：使用近似算子，求解函数g(x)的近似映射；

步骤3.2：通过前向后向分裂算法解决优化问题，求取函数g(x)最小化解作为图像恢复的结果；

步骤3.3：恢复出原始图像。

进一步的，步骤3.1中所述近似算子为：

其中z为求取最优函数g(x)的起始点，τ为步长；近似操作算子可以在不偏离起始点z的情况下找到函数g的最小值的近似；

函数g(x)的近似映射为：

其中，k是从1开始的迭代次数，当函数g(x)可微时，g是g的次梯度，任意x需要满足τg+(xk-z)＝0；此时xk＝proxg(z,τ)＝z-τg，表明只要z与g相反就能得到函数最优值x；

τg+(xk-z)＝0等价于此时近似算子可表示为jτgz表示为τg的预解算子。

进一步的，步骤3.2的具体步骤包括：

应用前向后向分裂算法来解决全变分模型最小化问题，需要将全变分模型中正则项重构为一个可微的函数，首先需要将原始模型转换成对偶形式，因此引入x的对偶变量u；

全变分去噪模型的凸原始问题形式为：

应用对偶理论知识，凸对偶问题形式为：

d表示一阶差分算子，λ表示正则化参数，模型第一项称为正则项，在优化过程中抑制噪声；第二项称为保真项，用于保持去噪后图像与观测图像的相似性；函数ιc是集合c的指示函数；上式最小化问题的求解是可微的；

其中全变分g(x)项引入近似算子后，对偶形式为：

然后使用前向后向算法迭代求解全变分去噪模型，找到最优解x，最为图像恢复的结果；前向后向分裂算法如下：

算法fbs：

1.fork＝1，2，...,do

2.

3.

标量τk表示第k次迭代的步长，prox为引入的近似算子。

通过上述技术方案的实施，本发明的有益效果是：图像复原过程中不仅保持了传统全变分复原模型算法的优势，同时进一步增强了保边性，更加有效的复原图像，图像质量指标数值有所提升。

附图说明

图1为本发明所述的一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪算法的流程框图。

图2为待复原图像与已复原图像的图像对比效果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义，还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

如图1、图2所示，所述的一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪算法，包括以下步骤：

步骤(1)：将全变分模型最小化问题转化成凸对偶问题，建立原始对偶形式；

一般去噪优化模型原始形式：

凸对偶形式：

给定一个凸的，下半连续的函数f，f的共轭函数f*定义为

如果f的共轭函数f*定义为

步骤(2)：使用近似算子，求解函数的近似映射；

全变分模型中g(x)是不可微的，不容易求解，不能简单的用梯度下降法求解。用近似算子求解目标函数的近似映射：

近似操作算子可以在不偏离起始点z的情况下找到函数g的最小值的近似，这个算子又叫做步长为τ的后向梯度下降。全变分模型可以方便的利用前向后向分类算法高效的求解，解决不可微目标凸函数问题，保持算法的简便性和有效性。

一般去噪优化模型使用近似映射算子后，使用前向后向算法表示成原始对偶形式为:

当函数g可微时，g是g的此梯度，任意x需要满足τg+(xk-z)＝0。此时xk＝proxg(z,τ)＝z-τg，表明只要z与g相反就能得到函数最优值x。

τg+(xk-z)＝0又等价于

此时近似算子又可以表示为jτgz表示为τg的预解算子。

步骤(3)：通过前向后向分裂算法求解模型中函数的最小化解作为图像恢复的结果。目标函数的最小化是图像恢复效果的关键，前向后向分裂算法如下：

算法fbs：

1.fork＝1，2，...,do

2.

3.

标量τk表示第k次迭代的步长，第3步为近似映射算子的步骤。

应用前向后向分裂算法来解决全变分模型最小化问题，需要将全变分模型中正则项重构为一个可微的函数，因此引入一个对偶变量u。

我们考虑全变分复原模型，其凸原始问题形式为：

应用对偶理论知识，凸对偶问题形式为：

||·||v表示v范数，d表示一阶差分算子，λ表示正则化参数，g表示观测图像。模型第一项称为正则项，在优化过程中抑制噪声。第二项称为保真项，用于保持去噪后图像与观测图像的相似性。函数ιc是集合c的指示函数。上式最小化问题的求解是可微的。

步骤(4)：恢复完整的图像；

经过本发明所述的一种基于一阶前向后向算法的全变分图像去噪算法复原前后的图像与复原前的图像对比效果图参见图2所示，其中图2(a)表示复原前图像，图2(b)表示复原后图像，从实验结果表明，本发明所述的一种全变分图像恢复的原偶混合梯度新算法的图像复原效果较好。

本发明的优点是：本发明方法在传统全变分模型的基础上，针对传统算法去噪效果不理想的缺点，提出改进，首先将全变分模型的正则项与保真项转成凸对偶问题，然后应用前向后向分裂算法迭代求解问题。实验结果表明：在信噪比，图像一致性方面，本文方法都有所提升，能产生更清晰的边缘和图像结构，提高了去噪性能。图像复原过程中不仅保持了传统全变分复原模型算法的优势，同时进一步增强了保边性，更加有效的复原图像，图像质量指标数值有所提升。

以上所述仅是本发明的部分实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。