线性调频Z变换 CZT
2024-06-23 17:49:47
文章目录
- 【1. 原理】
- 1.1 公式推导
- 1.2 z k z_k zk 所在的路径
- 1.3 CZT的特点
- 【2. CZT的实现步骤】
- 2.1 线性卷积
- 2.2 循环卷积
- 【3. CZT的应用】
- 3.1 通过 CZT 变换求 DFT
- 3.2 对信号的频谱进行细化分析
- 3.3 求解Z变换X(z)的零、极点
- 3.4 使用CZT进行Keystone变换
- 【4.相关文献】
- 线性调频Z变换（chirp Z-transform）
【1. 原理】
1.1 公式推导
- Z 变换公式：
X ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)z^{-n} X(z)=n=0∑N−1x(n)z−n - 令 z = z k = A W − k = ( A 0 e j θ 0 ) ( W 0 e − j φ 0 ) − k = ( A 0 e j θ 0 ) ( W 0 − k e j φ 0 k ) , k = 0 , 1... , M − 1 z=z_k=AW^{-k}=\left(A_0e^{j\theta_0}\right)\left(W_0e^{-j\varphi_0}\right)^{-k}=\left(A_0e^{j\theta_0}\right)\left(W_0^{-k}e^{j\varphi_0k}\right),k=0,1...,M-1 z=zk=AW−k=(A0ejθ0)(W0e−jφ0)−k=(A0ejθ0)(W0−kejφ0k),k=0,1...,M−1，M代表欲分析的频谱的点数，M不一定等于N。代入上式化简，得到 CZT 变换公式 ：
C Z T ( z k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) z k − n = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) ( A W − k ) − n = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) ( A 0 − n e − j θ 0 n ) ( W 0 n k e − j φ 0 n k ) , k = 0 , 1... , M − 1 \begin{aligned}CZT(z_k)&=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)z_k^{-n}\\&=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)(AW^{-k})^{-n}\\&= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)\left(A_0^{-n}e^{-j\theta_0n}\right)\left(W_0^{nk}e^{-j\varphi_0nk}\right),k=0,1...,M-1\end{aligned} CZT(zk)=n=0∑N−1x(n)zk−n=n=0∑N−1x(n)(AW−k)−n=n=0∑N−1x(n)(A0−ne−jθ0n)(W0nke−jφ0nk),k=0,1...,M−1
其中， z k = A W − k z_k=AW^{-k} zk=AW−k， A = A 0 e j θ 0 A=A_0e^{j\theta_0} A=A0ejθ0， W = W 0 e − j φ 0 W=W_0e^{-j\varphi_0} W=W0e−jφ0，
z k = A W − k = A 0 W 0 − k e j ( θ 0 + k φ 0 ) \\z_k=AW^{-k}=A_0W_0^{-k}e^{j(\theta_0+k\varphi_0)} zk=AW−k=A0W0−kej(θ0+kφ0)，
z 0 = A 0 e j θ 0 , z 1 = A 0 W 0 − 1 e j ( θ 0 + φ 0 ) \\z_0=A_0e^{j\theta_0},\\ z_1=A_0W_0^{-1}e^{j(\theta_0+\varphi_0)} z0=A0ejθ0,z1=A0W0−1ej(θ0+φ0)
z 2 = A 0 W 0 − 2 e j ( θ 0 + 2 φ 0 ) z_2=A_0W_0^{-2}e^{j(\theta_0+2\varphi_0)} z2=A0W0−2ej(θ0+2φ0)
⋯ \cdots ⋯
z M − 1 = A 0 W 0 − ( M − 1 ) e j [ θ 0 + ( M − 1 ) φ 0 ] z_{M-1}=A_0W_0^{-(M-1)}e^{j[\theta_0+(M-1)\varphi_0]} zM−1=A0W0−(M−1)ej[θ0+(M−1)φ0]
1.2 z k z_k zk 所在的路径
- A = A 0 e j θ 0 A=A_0e^{j\theta _0} A=A0ejθ0 为起始点位置。
A 0 A_0 A0 ：起始点半径，通常 A 0 ≤ 1 A_0\leq1 A0≤1，表示在圆内， A 0 = 1 A_0=1 A0=1 表示在单位圆上。
θ 0 \theta_0 θ0：起始点相位角，可正可负。 - z k = A 0 W 0 − k e j ( θ 0 + k φ 0 ) z_k=A_0W_0^{-k}e^{j(\theta_0+k\varphi_0)} zk=A0W0−kej(θ0+kφ0) 是 z 平面一段螺线上的等分角上某一采样点。
W 0 W_0 W0：螺线的伸展率。
W 0 > 1 W_0>1 W0>1：随 k 的增加螺旋线向内盘旋。
W 0 < 1 W_0<1 W0<1：随 k 的增加螺旋线向外盘旋。
W 0 = 1 W_0=1 W0=1：对应半径为 A 0 A_0 A0 的一段圆弧，若又有 A 0 = 1 A_0=1 A0=1， 则这段圆弧是单位圆的一部分。 - φ 0 \varphi_0 φ0 是两相邻点之间的角频率差。
φ 0 < 0 \varphi_0<0 φ0<0：表示 z k z_k zk 的路径是顺时针旋转。
φ 0 > 0 \varphi_0>0 φ0>0：表示 z k z_k zk 的路径是逆时针旋转。
1.3 CZT的特点
- 输入序列长N及输出序列长M不需要相等。
- N及M不必是高度合成数，二者均可为素数。
- z k z_k zk 的角间隔是任意的，频率分辨率也是任意的。
- 围线不必是z平面.上的圆，在语音分析中螺旋围线具有某些优点。
- 起始点 z 0 z_0 z0 可任意选定，因此可以从任意频率上开始对输入数据进行窄带高分辨率的分析。
- CZT 是一个一般化的DFT：若 A=1,M=N，可用CZT来计算DFT，即使N为素数时也可以。
【2. CZT的实现步骤】
2.1 线性卷积
- 利用 Bluestein 等式 n k = 1 2 [ n 2 + k 2 − ( k − n ) 2 ] nk=\frac{1}{2}[n^2+k^2-(k-n)^2] nk=21[n2+k2−(k−n)2]，代入CZT公式，得：
C Z T ( z k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) A − n W n k = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) A − n W n 2 2 W k 2 2 W − ( k − n ) 2 2 = W k 2 2 ∑ n = 0 N − 1 { [ x ( n ) A − n W n 2 2 ] W − ( k − n ) 2 2 } , k = 0 , 1... , M − 1 \begin{aligned}CZT(z_k)&= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{n k}\\ &= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{\frac{n^{2}}{2}}W^{\frac{k^{2}}{2}}W^{-\frac{(k-n)^{2}}{2}}\\ &=W^{\frac{k^2}{2}}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\{[x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}}]W^{-\frac{(k-n)^2}{2}}\},k=0,1...,M-1\end{aligned} CZT(zk)=n=0∑N−1x(n)A−nWnk=n=0∑N−1x(n)A−nW2n2W2k2W−2(k−n)2=W2k2n=0∑N−1{[x(n)A−nW2n2]W−2(k−n)2},k=0,1...,M−1 - 令 g ( n ) = x ( n ) A − n W n 2 2 , 0 ≤ n ≤ N − 1 ， h ( n ) = W − n 2 2 g(n)=x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}},0≤n≤N-1，h(n)=W^{-\frac{n^2}{2}} g(n)=x(n)A−nW2n2,0≤n≤N−1，h(n)=W−2n2，代入上式，得到：
C Z T ( z k ) = W k 2 2 ∑ n = 0 N − 1 g ( n ) h ( k − n ) , k = 0 , 1... , M − 1 CZT(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}\sum_{n=0}^{N-1}g(n)h(k-n),k=0,1...,M-1 CZT(zk)=W2k2n=0∑N−1g(n)h(k−n),k=0,1...,M−1 - 在上式中， ∑ n = 0 N − 1 g ( n ) h ( k − n ) \sum_{n=0}^{N-1}g(n)h(k-n) ∑n=0N−1g(n)h(k−n)是线性卷积，故上式可理解为：
C Z T ( z k ) = W k 2 2 g ( k ) ∗ h ( k ) , k = 0 , 1... , M − 1 CZT(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}g(k)*h(k),k=0,1...,M-1 CZT(zk)=W2k2g(k)∗h(k),k=0,1...,M−1 - 综上所述，CZT 的计算过程可化简为 ：
即：让 x(n) 乘 A − n W n 2 2 A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}} A−nW2n2 成为 g(n) ，g(n) 再与 h ( n ) = W − n 2 2 h(n)=W^{-\frac{n^2}{2}} h(n)=W−2n2 进行线性卷积，卷积的结果再与 W k 2 2 W^{\frac{k^2}{2}} W2k2 相乘，得到最终CZT变换的结果。
2.2 循环卷积
- 将线性卷积用循环圆卷积进行计算，从而可以变换到频域用FFT进行快速运算。下面为CZT的实现流程图。
- 选择一个最小数 L，使其满足 L ≥ N + M − 1 L\geq N+M-1 L≥N+M−1，同时又满足 L = 2 m L=2^m L=2m。
- 将 g ( n ) g(n) g(n) 尾补零变成列长为L的序列
g ( n ) = { A − n W n 2 2 x ( n ) 0 ≤ n ≤ N − 1 0 N ≤ n ≤ L − 1 g(n)=\begin{cases}A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}}x(n)&0\leq n\leq N-1\\ 0&N\leq n\leq L-1\end{cases} g(n)={A−nW2n2x(n)00≤n≤N−1N≤n≤L−1 - 求 g ( n ) g(n) g(n) 的 FFT
G ( r ) = ∑ n = 0 L − 1 g ( n ) e − j 2 π L n r ， 0 ≤ r ≤ L − 1 G(r)=\sum\limits_{n=0}^{L-1}g(n)e^{-j\frac{2\pi}{L}nr}，0\leq r \leq L-1 G(r)=n=0∑L−1g(n)e−jL2πnr，0≤r≤L−1 - h ( n ) h(n) h(n) 补零加长，周期延拓成L点的序列
h ( n ) = { W − n 2 2 0 ≤ n ≤ M − 1 0 M ≤ n ≤ L − N W − ( L − n ) 2 2 L − N + 1 ≤ n ≤ L − 1 h(n)=\left\{\begin{array}{cc}W^{-\frac{n^2}{2}}&0\leq n\leq M-1\\ 0&M\leq n\leq L-N\\ W^{-\frac{(L-n)^2}{2}}&L-N+1\leq n\leq L-1\end{array}\right. h(n)=⎩ ⎨ ⎧W−2n20W−2(L−n)20≤n≤M−1M≤n≤L−NL−N+1≤n≤L−1 - 求 h ( n ) h(n) h(n) 的 FFT
H ( r ) = ∑ n = 0 L − 1 h ( n ) e − j 2 π L n r ， 0 ≤ r ≤ L − 1 H(r)=\sum_{n=0}^{L-1}h(n)e^{-j\frac{2\pi}{L}nr}，0\leq r \leq L-1 H(r)=n=0∑L−1h(n)e−jL2πnr，0≤r≤L−1 - 求 G ( r ) G(r) G(r) 与 H ( r ) H(r) H(r) 的乘积 Q ( r ) Q(r) Q(r) ， Q ( r ) Q(r) Q(r)为 L 点频域离散序列。
Q ( r ) = G ( r ) ⋅ H ( r ) ， 0 ≤ r ≤ L − 1 Q(r)=G(r)\cdot H(r)，0\leq r \leq L-1 Q(r)=G(r)⋅H(r)，0≤r≤L−1 - 求 Q ( r ) Q(r) Q(r) 的 IFFT
q ( r ) = I D F T [ Q ( r ) ] ， 0 ≤ r ≤ L − 1 q(r)=IDFT[Q(r)]，0\leq r\leq L-1 q(r)=IDFT[Q(r)]，0≤r≤L−1 - 取 q ( r ) q(r) q(r) 的前M个点得到 q(k)，最后求出 X ( z k ) X(z_k) X(zk)
X ( z k ) = W k 2 2 ⋅ q ( k ) ， 0 ≤ k ≤ M − 1 X(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}\cdot q(k)，0\leq k\leq M-1 X(zk)=W2k2⋅q(k)，0≤k≤M−1
【3. CZT的应用】
3.1 通过 CZT 变换求 DFT
- 当满足如下条件时， z k z_k zk 均匀分布在单位圆上，可由 CZT： X ( z k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) ( A 0 − n e − j θ 0 n ) ( W 0 n k e − j φ 0 n k ) , k = 0 , 1... , M − 1 X(z_k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\left(A_0^{-n}e^{-j\theta_0n}\right)\left(W_0^{nk}e^{-j\varphi_0nk}\right),k=0,1...,M-1 X(zk)=∑n=0N−1x(n)(A0−ne−jθ0n)(W0nke−jφ0nk),k=0,1...,M−1，进一步求 DFT： X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π k n N , k = 0 , 1 , 2... N − 1 X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi \frac{kn}{N}},k=0,1,2...N-1 X(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNkn,k=0,1,2...N−1。
1、 M = N M=N M=N
2、 A = A 0 e j θ 0 = 1 ⟹ A 0 = 1 ， θ 0 = 0 ∘ A=A_0e^{j\theta_0}=1\Longrightarrow A_0=1，\theta_0=0^\circ A=A0ejθ0=1⟹A0=1，θ0=0∘
3、 W = W 0 e − j φ 0 = e − j 2 π N ⟹ W 0 = 1 , φ 0 = 2 π N W=W_{0}e^{-j\varphi_{0}}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\Longrightarrow W_0=1,\varphi_0=\frac{2\pi}{N} W=W0e−jφ0=e−jN2π⟹W0=1,φ0=N2π - 如果取 A 0 = 1 A_0=1 A0=1， θ 0 \theta_0 θ0为任意值，则所求的DFT是一段任意频率范围的频谱，也就是单位圆上某一段的频谱。这与直接计算DFT求整个频率范围的频谱是不一样的，即使调整N的大小，例如增加N，也只是增加了一段频率范围的计算量而已。
3.2 对信号的频谱进行细化分析
- 其中对窄带信号频谱或对部分感兴趣的频谱进行细化分析。 z k z_k zk 必须在z平面的单位圆上， A 0 = 1 A_0=1 A0=1， W 0 = 1 W_0=1 W0=1，即：
z k = A 0 W 0 − k e j ( θ 0 + k φ 0 ) = e j ( θ 0 + k φ 0 ) z_{k}=A_{0}W_{0}^{-k}e^{j(\theta_{0}+k\varphi_{0})}=e^{j(\theta_{0}+k\varphi_{0})} zk=A0W0−kej(θ0+kφ0)=ej(θ0+kφ0)
θ 0 \theta_0 θ0 由感兴趣的起始频率决定。
φ 0 \varphi_0 φ0 由频率分辨率决定。
M 由 φ 0 \varphi_0 φ0 和频率采样的范围决定。
3.3 求解Z变换X(z)的零、极点
- 用于语音信号处理过程中。
- 利用不同半径同心圆，进行等间隔采样，令 W 0 = 1 W_0=1 W0=1， θ 0 = 0 \theta_0=0 θ0=0， φ 0 = 2 π N \varphi_0=\frac{2\pi}{N} φ0=N2π，改变 A 0 A_0 A0，计算
20 lg ∣ X ( z k ) ∣ = 20 lg ∣ X ( r e j ω ) ∣ ω = 2 π N k , k = 0 , 1 , . . . N − 1 20\operatorname{lg}|X(z_k)|=20\operatorname{lg}|X(re^{j\omega})|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k},k=0,1,...N-1 20lg∣X(zk)∣=20lg∣X(rejω)∣ω=N2πk,k=0,1,...N−1
其中， 20 lg ∣ X ( r e j w ) ∣ （ d B ） 20\lg|X(re^{jw})|（dB） 20lg∣X(rejw)∣（dB）的峰值决定 X(z) 的极点，谷值决定零点。
3.4 使用CZT进行Keystone变换
- 当满足以下条件：
1、 M = N M=N M=N
2、 A = A 0 e j θ 0 = 1 ⟹ A 0 = 1 , θ 0 = 0 ° A=A_0e^{j\theta_0}=1\Longrightarrow A_0=1, \theta_0=0° A=A0ejθ0=1⟹A0=1,θ0=0°
3、 W = W 0 e − j φ 0 = e − j f 0 + f f 0 2 π M ⟹ W 0 = 1 , φ 0 = f 0 + f f 0 2 π M W=W_{0}e^{-j\varphi_{0}}=e^{-j\frac{f_0+f}{f_0}\frac{2\pi}{M}} \Longrightarrow W_0=1,\varphi_0=\frac{f_0+f}{f_0}\frac{2\pi}{M} W=W0e−jφ0=e−jf0f0+fM2π⟹W0=1,φ0=f0f0+fM2π
然后按照CZT的计算步骤进行计算。使用此方法可以大大减小Keystone变换的计算量。
【4.相关文献】
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