【概述】

集合，是集合论中主要研究对象，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体，其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。

集合中元素的数目称为集合的基数，集合 A 的基数记作：card(A)，当其为有限大时，集合 A 称为有限集，反之则为无限集，简单来说，含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

一个集合具有三个特性：确定性、互异性、无序性。其中，确定性是指给定一个元素其在集合中是否存在是确定的，互异性是指一个集合中任何两个元素都是不同的，无序性是指一个集合中元素间是无序的。

在 STL 中，利用 set 和 multiset 容器可以快速的解决集合问题，关于 set 与 multiset：点击这里

【集合分类】

1.全集与子集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作：U

设 S、T 是两个集合，如果 S 的所有元素都属于 T，则称 S 是 T 的子集，记为：

显然，对于一个集合自身与空集有：

如果 S 是 T 的一个子集，但在 T 中存在一个元素 x 不属于 S，即：，则称 S 是 T 的一个真子集

2.空集

空集是特殊的集合，其不包含任何元素，记为：∅

其有 2 个特点：

空集是任意一个非空集合的真子集
空集是任何一个集合的子集

3.交并集

交集是由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合，记作：A∩B

并集是由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素所组成的集合，记作：A∪B

5.补集

补集分为相对补集和绝对补集：

由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合，称为 B 关于 A 的相对补集，记作：A-B 或 A\B
A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集，记作：A' 或 Cu(A) 或 ~A

6.幂集

对于一个集合 A，其所有子集组成的集合，称为集合 A 的幂集。

性质：有限集 A 的幂集的基数等于 2 的有限集 A 的基数次幂。

7.相等集合

如果两个集合 S 和 T 的元素完全相同，则称 S 与 T 两个集合相等，记为：S=T

有：

【集合运算】

对于两个集合 A、B 存在以下运算：

交换律：A∩B=B∩A、A∪B=B∪A
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C、A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)、A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C、(A∩B)^C=A^C∪B^C
同一律：A∪∅=A、A∩U=A
求补律：A∪A'=U、A∩A'=∅
对合律：A''=A
等幂律：A∪A=A、A∩A=A
零一律：A∪U=U、A∩∅=∅
吸收律：A∪(A∩B)=A、A∩(A∪B)=A
德·摩根律：(A∪B)'=A'∩B'、(A∩B)'=A'∪B'
容斥原理：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

利用 bitset 表示集合时，由于二进制位运算的特点，当两个集合 A、B 逐位进行位运算 A&B、A|B、A^B 时，分别对应两个集合的交集、并集、对称差集

此外，当全为 0 时，表示空集；当全为 1 时，表示全集，即 allBits=(1<<n)-1，那么，对于集合 A 的补集为：allBits^A

关于 bitset：点击这里

【例题】

Equalize the Remainders（CF-999D）(set+模拟)：点击这里
找连续数（HDU-5247）(set+打表)：点击这里
矩阵中不重复的元素（51Nod-1024）(set+暴力)：点击这里
The Brand New Function（CF-224C）(set+暴力)：点击这里
Colorful Graph（CF-246D）(set+暴力)：点击这里
Make a Rectangle（Atcoder-2696）(multiset+优先队列)：点击这里

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