Black-Scholes 期权定价公式（偏微分方程SDE）

简单推导期权定价模型：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399851702

说人话就是：模型在推导过程中运用到了一个很重要的微分方程：

其中，式子中的 f 表示看涨期权价格，S表示期权基础资产的价格，r为连续复利的无风险收益率，σ为基础资产价格百分比变化(收益率)的波动率，t是时间变量。

欧式看涨期权

欧式看跌期权

L=K(不同版本的表达)

其中

Code:

function Call = blsprice(S,K,r,T,sigma)
% BS formula for European call pricingd1 = (1./(sigma.*sqrt(T))).*( log(S/K) + (r+sigma.^2/2).*T);
d2 = d1 - sigma.*sqrt(T);
Z1 = normcdf(d1,0,1);
Z2 = normcdf(d2,0,1);
Call = Z1*S - Z2*K*exp(-r*T);
end

python代码实现

import numpy as np
from scipy.stats import normdef call_BS(S,K,sigma,r,T):'''用bs模型计算欧式看涨期权价格S 期权基础资产价格K 期权执行价格sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率r 无风险收益率T 期权合约剩余年限'''d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)def put_BS(S,K,sigma,r,T):'''用bs模型计算欧式看跌期权价格S 期权基础资产价格K 期权执行价格sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率r 无风险收益率T 期权合约剩余年限'''d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

B-S的应用：隐含波动率的计算

https://blog.csdn.net/hzk427/article/details/104501847

call put parity 看跌-看涨平价关系式（待补充）

具有相同执行价格与期限的欧式看跌期权、看涨期权在价格上有一个重要关系式。上面put的价格也由此推出

两个投资组合的讨论(无套利)

首先，考虑以下两个投资组合在期权合约到期时的盈亏情况。A投资组合：一份欧式看涨期权和一份在T时刻到期的本金为K的零息债券；B投资组合：一份欧式看跌期权和一份基础资产。这里需要假设看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格K与相同的合约期限T。

对于A投资组合而言，零息债券在期权合约到期日(T时刻)的价值显然是等于K，而对于看涨期权则分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，A投资组合中的欧式看涨期权将被执行，此时，A投资组合的价值是(St-K)+K=St；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格St<K，A投资组合中的欧式看涨期权就没有价值，此时A投资组合的价值为K。

对于B投资组合而言，也分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，此时，B投资组合中的欧式看跌期权没有价值，此时，B投资组合价值为St，也就是仅剩下基础资产的价值；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格St<K，此时，B投资组合中的欧式看跌期权会被行使，此时B投资组合价值为(K-St)+St=K。综合以上的分析，当St>K时，在T时刻两个投资组合的价值均为St；当St<K时在T时刻两个投资组合的价值均为K。换而言之，在T时刻(期权合约到期时)，两个投资组合的价值均为max(St, K)

由于A投资组合与B投资组合中的期权均为欧式期权，在期权到期之前均不能行使，既然两个投资组合在T时刻均有相同的收益，在期权合约的存续期内也应该有相同的价值。否则，就会出现无风险套利机会，套利者可以买入价格低的投资组合，与此同时卖空价格高的投资组合进行无风险的套利，无风险套利收益就是等于两个组合价值的差额。

公式如下：

看涨期权 + 零息债券价格 = 看跌期权 + 基础资产价格

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