100个python算法超详细讲解:最小公倍数
1.问题描述
求任意两个正整数的最小公倍数(Least Common Multiple,
LCM)。
2.问题分析
如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约
数,对于两个整数来说,最小公倍数是指这两个数共有倍数中最小的
一个。计算最小公倍数时,通常会借助最大公约数来辅助计算,即最
小公倍数=两数的乘积/最大公约(因)数,解题时要避免和最大公约
(因)数问题混淆。
对于最小公倍数的求解,除了利用最大公约数外还可根据定义进
行算法设计。要求任意两个正整数的最小公倍数,就是求出一个最小
的能同时被两个整数整除的自然数。
3.算法设计
根据定义可知,两个整数的最小公倍数不小于两数中的任意一
个,若大数不是小数的倍数,则可由大数开始利用递增的方法找到第
一个满足条件的数。利用定义求最小公倍数的关键是找到两个整数中
较大的数。
对于输入的两个正整数m和n,每次输入的大小顺序可能不同,为
了使程序具有一般性,首先对整数m和n进行大小排序,规定变量m中
存储大数、变量n中存储小数。
若输入时m的值小于变量n的值,则需要交换两个变量中存储的内
容。再次强调,交换两个变量中的内容并不是简单地相互赋值,而要
借助中间变量,将其中一个变量的值暂存(防止在交换过程中将原来
的内容丢失)。此过程在4.4节及第1章1.8节中已介绍过,这里不再赘
述。
比较两个数的大小 使得 中存储大数 中存储小数
if m < n: # 比较两个数的大小,使得m中存储大数,n中存储小数
temp = m
m = n
n = temp
若输入的两个数,大数m是小数n的倍数,那么大数m即为所求的
最小公倍数;若大数m不能被小数n整除,则需要寻找一个能同时被两
数整除的自然数,即从大数m开始依次向后递增直到找到第一个能同时
被两数整除的数为止,故循环变量i的初值为m。需要注意的是,在找
到第一个满足条件的i值后,循环没必要继续进行,故用break来结束循
环。
在上面的分析过程中没有提到循环变量的终止条件,因i的最大值
不能确定,像这种终止条件不确定的情况如何来表示呢?方法有两
种,第一,可以把判定条件表示成循环变量满足的基本条件,如本例
终止条件可表示成i>0;第二,终止条件省略不写,利用循环体中的语
句结束循环,如在找到第一个满足条件的自然数时利用break语句结束
循环。
i = m
while i > 0: # 从大数开始寻找满足条件的自然数
if i % m == 0 and i % n == 0:
# 输出满足条件的自然数并结束循环
print("%d 和 %d 的最小公倍数为:%d" %(m, n, i))
break
i += 1
通常情况下,如果我们知道循环的次数,可以使用for循环来实
现;如果不清楚循环的次数,可以使用while循环来实现,while循环的
条件就是循环的终止条件。
4.确定程序框架
程序流程图如图4.11所示。
5.完整的程序
根据上面的分析,编写程序如下:
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 最小公倍数
if __name__ == "__main__":
print("请输入两个整数")
m = int(input("m = "))
n = int(input("n = "))
if m < n: # 比较两个数的大小,使得m中存储大数,n中存储小数
temp = m
m = n
n = temp
i = m
while i > 0: # 从大数开始寻找满足条件的自然数
if i % m == 0 and i % n == 0:
# 输出满足条件的自然数并结束循环
print("%d 和 %d 的最小公倍数为:%d" %(m, n, i))
break
i += 1
最小公倍数不可以像最大公约数那样直接利用辗转相除法求出,
但可以借助辗转相除法求得的最大公约数来求最小公倍数。辗转相除
法求最大公约数的代码在4.4节中已经给出,在已知最大公约数的情况
下,借助公式最小公倍数=两数的乘积/最大公约(因)数,即可求出两
整数的最小公倍数。
由4.4节中求解最大公约数的代码可知,在辗转相除的过程中,变
量m、n的值是一直在变化的,程序结束时与最初输入的值已不同,但
在求最小公倍数时要用到两变量初值的乘积,因此在进入循环进行辗
转相除之前应先将两变量的乘积保存,假设存储到变量k中,根据公式
用变量k的值除以求得的最大公约数n得到的值即为所求的最小公倍
数。对应代码如下:
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 最小公倍数——利用两数的最大公约数求出最小公倍数
if __name__ == "__main__":
print("请输入两个整数")
m = int(input("m = "))
n = int(input("n = "))
k = m * n # k存储两数的乘积
print("%d 和 %d 的最小公倍数为: " %(m, n), end="")
if m < n: # 比较两个数的大小,使得m存储大数,n存储小数
temp = m
m = n
n = temp
b = m % n # b存储m除以n的余数
while b != 0:
m = n # 原来的小数作为下次运算时的大数
n = b # 将上一次的余数作为下次相除时的小数
b = m % n
两数乘积除以最大公约数即为它们的最小公倍数
resultNum = k // n # 两数乘积除以最大公约数即为它们的最小公倍数
print("%d" %resultNum)
当然,根据定义求得的最大公约数,也可由公式最小公倍数=两数
的乘积/最大公约(因)数,再次求出最小公倍数。方法同上述代码。
6.运行结果
在PyCharm下运行程序,屏幕上提示“请输入两个整数”,输入45和
63后,结果为315,如图4.12a所示;输入4和5后,结果为20,如图
4.12b所示。
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