Kruskal算法（java）

一、Kruskal算法介绍

Kruskal算法是一种构造最小生成树的算法。时间复杂度为 O ( ∣ E ∣ l o g ∣ E ∣ ) O(|E|log|E|) O(∣E∣log∣E∣)。Kruskal算法适合于边稀疏而顶点较多的图。

二、Kruskal算法原理

（1）初始时为只有n个顶点而无边的非连通图T，每个顶点自成一个连通分量。
（2）按照边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取过且权值最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入T，否则舍弃此边而选择下一条权值最小的边。换句话说，加入的边不能连成环。
（3）重复（2）步骤，直至T中所有顶点都在一个连通分量上。

三、Kruskal算法图解

构造图（a）的最小生成树过程如下：
（1）将边按权值大小排序：

< V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1，V3>：1
< V 4 ， V 6 V_{4}，V_{6} V4，V6>：2
< V 2 ， V 5 V_{2}，V_{5} V2，V5>：3
< V 3 ， V 6 V_{3}，V_{6} V3，V6>：4
< V 1 ， V 4 V_{1}，V_{4} V1，V4>：5
< V 2 ， V 3 V_{2}，V_{3} V2，V3>：5
< V 3 ， V 4 V_{3}，V_{4} V3，V4>：5
< V 1 ， V 2 V_{1}，V_{2} V1，V2>：6
< V 3 ， V 5 V_{3}，V_{5} V3，V5>：6
< V 5 ， V 6 V_{5}，V_{6} V5，V6>：6

（2）首先，将< V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1，V3>加入最小生成树中。（如图b所示）
（3）将< V 4 ， V 6 V_{4}，V_{6} V4，V6>加入最小生成树中。（如图c所示）
（4）将< V 2 ， V 5 V_{2}，V_{5} V2，V5>加入最小生成树中。（如图d所示）
（5）将< V 3 ， V 6 V_{3}，V_{6} V3，V6>加入最小生成树中。（如图e所示）
（6）此时最小权值的边为：< V 1 ， V 4 V_{1}，V_{4} V1，V4>、< V 2 ， V 3 V_{2}，V_{3} V2，V3>、< V 3 ， V 4 V_{3}，V_{4} V3，V4>，由于< V 1 ， V 4 V_{1}，V_{4} V1，V4>、< V 3 ， V 4 V_{3}，V_{4} V3，V4>成环，所以将< V 2 ， V 3 V_{2}，V_{3} V2，V3>加入最小生成树中。（如图f所示）
（7）边的数目=顶点数目-1，最小生成树构造完成。

四、Kruskal算法代码实现

package com.haiyang.algorithm.kruskal;import java.util.Arrays;public class KruskalCase {private int edgeNum; //边的个数private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用 INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};//创建KruskalCase 对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);//输出构建的kruskalCase.print();kruskalCase.kruskal();}//构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {//初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;//初始化顶点, 复制拷贝的方式this.vertexs = vertexs;//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式this.matrix = matrix;//统计边的条数for(int i =0; i < vlen; i++) {for(int j = i+1; j < vlen; j++) {if(this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}public void kruskal() {int index = 0; //表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点//创建结果数组, 保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12//按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入for(int i=0; i < edgeNum; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4//获取到第i条边的第2个顶点int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1); //m = 4//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends, p2); // n = 5//是否构成回路if(m != n) { //没有构成回路ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组}}//<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。//统计并打印 "最小生成树", 输出  retsSystem.out.println("最小生成树为");for(int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为: \n");for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();//换行}}/*** 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序* @param edges 边的集合*/private void sortEdges(EData[] edges) {for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换EData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j+1];edges[j+1] = tmp;}}}}/**** @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1*/private int getPosition(char ch) {for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if(vertexs[i] == ch) {//找到return i;}}//找不到,返回-1return -1;}/*** 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]* @return*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) {if(matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i : 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标,*/private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]while(ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}}//创建一个类EData 表示一条边的数据类
class EData {char start; //边的一个点char end; //边的另外一个点int weight; //边的权值//构造器public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";}}