数学分析_导函数连续问题分析

导函数连续即
f′(a)=lim⁡x→af′(x)f'(a) = \lim_{x \to a}f'(x)f′(a)=x→alimf′(x)

判断一个导函数在某点连续与否，就要看上面这个式子成立与否,通常情况下我们要判断的函数都是连续的，因为不连续的情况太好判断了。

f(x)f(x)f(x)是连续函数，则有
f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=lim⁡x→af′(x)(∗)f'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} f'(x) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \space\space (*)f′(a)=x→alimx−af(x)−f(a)=x→alimf′(x) (∗)
从上式看出，只要是连续函数，就有f(a)=lim⁡x→af(x)f(a) = \lim_{x \to a}f(x)f(a)=limx→af(x)，满足00\dfrac{0}{0}00型，可以用洛必达法则，因而推出了，导函数也是连续的，这和我们的认知出现了偏差，那错在哪呢？

先给出结论：
在U(a;δ)U(a;\delta)U(a;δ)邻域内可导，则连续函数的导数在aaa点连续

原因显而易见了，就是U(a;δ)U(a;\delta)U(a;δ)邻域可导这一条件，(∗)(*)(∗)式最后一步用的洛必达法则，如果U(a;δ)U(a;\delta)U(a;δ)邻域不可导，那么最后一步是不可以用洛必达的，导函数连续也不存在了，如果题目有这个条件，那么导函数肯定是连续的。

例.f(x)={x2sin1x,x≠00,x=0f(x)= \begin{cases} x^2sin\dfrac{1}{x}, & \text {$x\neq 0$} \\ 0, & \text{$x = 0$} \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧x2sinx1,0,x=0x=0
f+’(x)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+xsin1x=0f_+’(x) = \lim_{x \to 0+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0+}xsin\dfrac{1}{x} = 0f+’(x)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limxsinx1=0
f−’(x)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−xsin1x=0f_-’(x) = \lim_{x \to 0-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0-}xsin\dfrac{1}{x} = 0f−’(x)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limxsinx1=0
x=0x=0x=0点处导数存在且等于0.

因而f′(x)={2xsin1x−cos1x,x≠00,x=0f'(x)= \begin{cases} 2xsin\dfrac{1}{x}-cos\dfrac{1}{x}, & \text {$x\neq 0$} \\ 0, & \text{$x = 0$} \end{cases}f′(x)=⎩⎨⎧2xsinx1−cosx1,0,x=0x=0
f(x)f(x)f(x)是连续函数，而它的导函数是不连续的

这个例子中U(0;δ)U(0;\delta)U(0;δ)邻域就是不可导的，因此用(∗)(*)(∗)式最后一步对这个函数来说是不成立的，在0点导数不连续。

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