《dp补卡——01背包问题》
目录
- 01背包
- [416. 分割等和子集](https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/)
- [1049. 最后一块石头的重量 II](https://leetcode-cn.com/problems/last-stone-weight-ii/)
- [494. 目标和](https://leetcode-cn.com/problems/target-sum/)
01背包
1、dp数组以及下标含义
dp[i][j]标识从下标为[0,1]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少？
2、确定递推公式
dp[i][j]可以由两个方向推出：
1、dp[i-1][j]，背包容量为j，里面不放入物品i的最大价值，此时dp[i][j] = dp[i-1][j]
2、dp[i-1][i-weight[i]]推出，背包容量为i-weight[i]的时候此时dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]]+valuep[i];
所以递推公式为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
3、dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合。
如果背包容量j为0的话,dp[i][0]无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
由递推可知i是由i-1推出来的，那么i为0时一定要初始化。
dp[0][j]存放编号为0的物品时，各个容量的背包能存放的最大价值：
for(int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--)
{dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0];
}
这里需要注意，初始化是倒序遍历。
dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值。由于每个物品只有1个，如果dp[0][j]必须为初值，正序遍历，物品0会被重复加入多次。
dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数，那么下标初始化为0.如果价值里面有负数，初始化为负无穷。只要保证dp数组在递推公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖。
所以dp数组初始化如下：
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1,vector<int>(bagWeight + 1,0));
for(int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--)
{dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0];
}
4、确定遍历顺序
有两个遍历维度：物品与背包重量，先遍历物品更好理解。
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) //遍历物品
{for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) //遍历背包容量 { if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j]; //else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+values[i])}
}
滚动数组优化
1、确定dp数组的定义
dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2、一维dp递推公式
dp[j]可以通过dp[j-weight[i]]推导，其表示容量为j-weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j-weight[i]]+value[i]表示容量为j-物品i重量的背包加上物品i的价值。（即容量为j的背包放入物品i之后的价值）此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j-weight[i]]+value[i].
所以递推公式为：
dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
3、初始化
假设物品价值都是大于0的，dp数组初始化的时候都初始化为0
4、确定遍历顺序
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) //遍历物品
{for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) //遍历背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);}
}二维遍历时，背包容量从小到大，一维遍历，背包容量从大到小。
这是因为倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次。二维dp，dp[i][j]是通过上一层dp[i-1][j]计算得到的，所以本层的dp[i][j]并不会产生覆盖。
一维01背包测试代码：
void test_one_dim_01bag()
{vector<int> weight = {1,3,4};vector<int> value = {15,20,30};int bagWeight = 4;//初始化vector<int> dp(bagWeight+1,0);for(int i = 0; i < weight[i]; i++) //遍历物品{for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) //遍历背包容量{dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
416. 分割等和子集
dp[j]表示容量为j的背包，所背物品价值可以最大为dp[j]。
dp[j]表示背包总容量为j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]。
dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]] + nums[i]);
vector<int> dp(target+1,0); //target为背包容量
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}
}
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for(int num : nums){sum += num;}if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);if(dp[j] == target) return true;}}if(dp[target] == target) return true;else return false;}
};
1049. 最后一块石头的重量 II
将石头尽量分成两堆相同重量，然后相撞。分成两堆的思路与上一题一致。
class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum = 0;for(int stone : stones){sum += stone;}int target = sum / 2;//dp[target]，容量为target的背包最多能背多重的石头vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < stones.size(); i++){for(int j = target; j >= stones[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target]*2;}
};
494. 目标和
dp[j] += dp[j-nums[i]]
3、初始化dp数组
dp[0] = 1，装满容量为0的背包，有1种方法。其他dp[i]均设置为0，在不知道nums[i]的情况下，没有方法。
class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = 0;for(int num : nums)sum += num;//如果绝对值和比targetabs小，说明都用同一个符号也不能凑成if(sum < abs(target)) return 0;//如果不能完整的分成两组，那么说明没有方法if((target + sum) % 2 == 1) return 0;int bagWeight = (target + sum)/2;vector<int> dp(bagWeight+1,0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = bagWeight; j >= nums[i]; j--){dp[j] += dp[j-nums[i]];}}return dp[bagWeight];}
};
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