想说的话

完全不废话，谁都能懂 φ(>ω<*)

只关注如何求关系闭包，不讲原理，因为懒（不是）

方便起见，就以下图为例。关系为
R={⟨1,1⟩,⟨1,2⟩,⟨3,1⟩}R=\lbrace\langle1,1\rangle,\langle1,2\rangle,\langle3,1\rangle\rbrace R={⟨1,1⟩,⟨1,2⟩,⟨3,1⟩}

自反闭包

将没有环的结点加上环。

例题中结点111有环，结点2,32,32,3无环，因此将结点2,32,32,3加上环即可。

对称闭包

将只有一条边相连的两个结点之间加上一条相反的边。

结点1,21,21,2之间和结点1,31,31,3之间只有一条边相连，因此各加上一条相反的边即可。

传递闭包

就像抄近道一样，将通过两条及以上的边相连的结点连起来。

结点2,32,32,3以 3→1→23\to1\to23→1→2的路径相连，因此只要加上路径 3→23\to23→2 即可。

注意一种特殊情况：若存在1→2→11\to2\to11→2→1的情况，需要连接 1→11\to11→1 ，即将结点111连环，同理，结点2连环。

练习题

分别求出以下三个关系中的自反闭包、对称闭包和传递闭包。

关系一：

设关系二：R={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}R=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle b,c\rangle,\langle c,b\rangle\rbraceR={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}

关系三：

答案：

关系一：
r(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,1⟩}r(R)=\lbrace\langle 1,1\rangle,\langle 2,2\rangle,\langle 3,3\rangle,\langle 1,2\rangle,\langle 2,1\rangle,\langle 2,3\rangle,\langle 3,1\rangle\rbracer(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,1⟩}
s(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,2⟩,⟨1,3⟩,⟨3,1⟩}s(R)=\lbrace\langle 1,1\rangle,\langle 2,2\rangle,\langle 1,2\rangle,\langle 2,1\rangle,\langle 2,3\rangle,\langle 3,2\rangle,\langle 1,3\rangle,\langle 3,1\rangle\rbraces(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,2⟩,⟨1,3⟩,⟨3,1⟩}
t(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,2⟩,⟨1,3⟩,⟨3,1⟩}t(R)=\lbrace\langle 1,1\rangle,\langle 2,2\rangle,\langle 1,2\rangle,\langle 2,1\rangle,\langle 2,3\rangle,\langle 3,2\rangle,\langle 1,3\rangle,\langle 3,1\rangle\rbracet(R)={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩,⟨3,2⟩,⟨1,3⟩,⟨3,1⟩}
关系二：
r(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩,⟨c,c⟩}r(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle b,c\rangle,\langle c,b\rangle,\langle c,c\rangle\rbracer(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩,⟨c,c⟩}
s(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}s(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle b,c\rangle,\langle c,b\rangle\rbraces(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}
t(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨c,c⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}t(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,c\rangle,\langle b,c\rangle,\langle c,b\rangle\rbracet(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨c,c⟩,⟨b,c⟩,⟨c,b⟩}
关系三：
r(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨c,c⟩,⟨a,b⟩}r(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,c\rangle,\langle a,b\rangle\rbracer(R)={⟨a,a⟩,⟨b,b⟩,⟨c,c⟩,⟨a,b⟩}
s(R)={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩}s(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle a,b\rangle,\langle b,a\rangle\rbraces(R)={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩}
t(R)={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩}t(R)=\lbrace\langle a,a\rangle,\langle a,b\rangle\rbracet(R)={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩}

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