罗尔定理

定理内容

对罗尔定理的证明：

• m=M 处处导数值为0
• m<M 设内部存在极大值，所以推出在那个点要么导数等于0，要么导数不存在。然后由于条件是里面都可以导，所以就证出了罗尔定理

例题

• 如果有三个值，构造一个函数是原函数减去中间那个值，目的是发现除去中间那个值，其他两个一个正一个负，推出相乘小于0->推出存在一个值等于0，->推出原函数在那个点的值等于被你用来构造的那个值。
• 于是你就有两个值相等了，就可以使用罗尔定理了
  
• 看到函数值相加->介质定理 ，介质定理要特别注意一下范围
• 罗尔定理的三个条件都具备了，可以直接用了

拉格朗日中值定理

note:

• 这个值的在开区间里面
• 这个至少有一个，不一定是1个

加减乘除（分母不是0）不改变 连续性和可导性

证明：

• 先写出曲线的函数和直线的函数

• 构造函数为曲线减去直线

• 

• 加减乘除（分母不为0）不改变函数连续性可导性

• 两个端点的值为0

• 发现满足罗尔
  
  证明了拉格朗日定理

拉格朗日的三个内容

柯西中值定理

柯西中值定理内容

那个导数不为0的条件只是为了这里。为了和罗尔定理共同起到规定这两个分母不为0的条件。

证明：

和拉格朗日一样先弄出一个函数

完成柯西的证明

柯西的注解：如果g(x)=x则柯西变成拉格朗日

题型

型一

这是两个思路

• 看到函数值相加->介质定理
• 罗尔定理

• 可以用那个函数的条件推出东西，先用
• 可以用罗尔，先用
• 然后就解出来了

• 看到这个条件直接用那个函数的结论得到两个东西
• 已经有了一个导数值了，就目的是找到另一个和它相等的导数值
• 如果两个函数值相等，一定要有一个罗尔的冲动，如果两个函数值不相等，就一定要有一个拉格朗日的冲动。

• 看到不等用拉格朗日
• 两个点的导数值相等，用罗尔

型二 特征结论中只有一个中值，不含其他字母

还原法

还原法用到的工具

这一套需要背下来的

• 看出条件是要用还原法
• 利用工具，弄出那个形式，还原出来，合并
• 然后再利用构造的函数和其他条件继续走下去

• 看出符合还原法的条件
• 利用工具还原，弄出辅助函数
• 利用条件继续推就可以了

• 看出是还原法的形状
• 弄出辅助函数
• 罗尔定理使用两次
• 然后继续做的关键在于用已有的条件凑出需要的东西

分组法

如果只有中值，导数差一阶，只有两项，那么用还原法，但是如果不是只有两项，那就用分组法了

分组法牛逼

• 分好组，凑出前面和后面一样的东西，然后同时除以一个导数阶比较小的，然后会有一个可以凑出ln的形态和一个1出来，1你可以变的嘛，总之，分组法你也能弄出你的辅助函数来
• 辅助函数出来了就是不断地利用条件，拉格朗日，利用条件，罗尔，之类的反复交替尝试做了。

型三 结论中含中值，含a,b

解题方法

• 看出是结论中含中值含a,b的题型
• 可以分离，分离
• 可以看出两个函数形式->柯西

• 结论有ab中值，并且不可分开-》中值换成x并且整理成右边是0，左边很长的式子
• 还原，得到辅助函数
• 想办法创造条件用罗尔，拉格朗日或者柯西

型四 结论中含两个或两个以上中值的问题

情形一：结论中只含f’()，f’()

解题方法就很直接
1.找三个点
2.两次拉格朗日定理

• 没有求导就用到连续性的几个性质，开区间，最好是零点定理
• 零点定理的做法，构造一个函数，让已有的两个值一个大于0一个小于0，这样他们乘起来就会小于0了，这样就有三个点了，三个点两个区间，你分别在这两个区间进行两次拉格朗日中值定理就能做了

规律：
闭区间内连续，开区间内可导，如果这个命题没有导数，那就不用导数用连续，有连续开区间往往用零点，闭区间往往用介质

看到大概的样子你就可以直接用对应题型的方法了，虽然你看不出来后续怎么做，但是你按方法先做了再说

• 零点定理-》为了找到三个点
• 两次拉格朗日

这道题是真的妥的一塌糊涂

• 看结论样式 -> 找三点
• 找到了三点->两次拉格朗日就行了，这三点只是保证按大小排序就行了

情形一：结论中含两个中值，但两个中值的项复杂度不同

解题手法，妥的一塌糊涂

• 保留复杂度大的，看出是哪一种类型
• 还原出辅助函数
• 拉格朗日，可能多次

• 是除的类型，准备柯西
• 保留复杂的，由复杂的项推出两个辅助函数来柯西
• 然后继续推，按结论推

一个复杂一个不复杂-》留复杂-》还原

型六 拉格朗日中值定理的两种惯性思维

• 这就是f(b)-f(a)，只是需要你去设一下，构造一下函数
• 拉格朗日，附带一下范围
• 可以做下去了

加减的极限等于极限的加减的前提——每个部分极限要有（∞算没有）

• 左边函数值相减->拉格朗日（带范围）
• 右边1^∞

• 看出三个点-》两次拉格朗日
• 二阶导数大于0，一阶导数递增
• 直接推出

• 至少有一个0点直接写出来
• 和已经有 的两个点加起来就有三个点了，两次拉格朗日
• 再利用题目给的条件就能做了

型七 泰勒公式的常规证明问题

麦克劳林公式


背一下

• 乘法的话，等价无穷小可以直接用
• 背一下刚刚让你背的那些公式，展开到需要的阶数（和分母一样的阶数）
• 代换一下x，想个办法弄出一个等价无穷小来

• 就你可以直接背出麦克劳林公式的，麦克劳林公式的好处就是当你等价无穷小阶数不够的时候，你可以用麦克劳林

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