图形 1.2.1 向量基础

1、向量定义

·向量是有大小和方向的有向线段

·向量没有位置，只有大小和方向

·向量的箭头是向量的结束点，尾巴是向量的起始点

·向量描述的位移能被认为是与轴平行的位移序列

·向量表示：三维（ax，ay，az）二维（ax，ay）

向量与标量

·向量：有大小和方向的有向线段

·标量：只有大小，没有方向的量

向量与点

·向量和点数学形式上相等，但几何意义完全不同

·点：有位置，没有实际大小或方向

·向量：无位置，有实际大小和方向

·联系：任何一个点都可以看作是从原点出发的向量

零向量

·零向量是唯一大小为零的向量

·零向量是唯一一个没有方向的量

·零向量不是一个点，疑问没有定义某个位置

·零向量表示的是没有位移，就像零标量表示的是没有数量一样

2、计算方法

标量与向量之间的计算

·不可加

·不可减

·可乘：将向量的每个分量与标量相乘即可，例 -2 *（2，-5）=（-4，10）

·可除：将向量的每个分量与标量的倒数相乘，例（6，-2，-4）/ 2 = （3，-1，-2）

·几何解释：向量乘以标量的效果是以标量的大小缩放向量的长度，负值则方向相反

·例子：-2 *（2，-5）=（-4，10）（6，-2，-4）/ 2 = （3，-1，-2）

向量的模长

·计算公式：||v|| = pow（pow（vx，2）+pow（vy，2），0.5）；

·几何解释：当我们将所示向量作为斜边构建一个直角三角形，所示向量的大小（模长）即可通过扫侥幸勾股定理推出

·例子：（-12，5）的模长为

        pow（pow（-12，2）+pow（5，2），0.5） = pow（144+25，0.5）= 13

标准化向量

·标准化向量（单位向量）就是大小为1的向量。（适用范围：仅需要知道方向而不关心其大小，例如法线）

·运算法则：将向量除以她的大小（模长）

Vnormal = v / ||v|| ，v ≠ 0 （API：normalize（Vector3））

·例子：标准化向量（12，-5），

        （12，-5）/ pow（pow（12，2）+pow（-5，2），0.5） = （0.923，-0.358）

向量之间的加减法计算

计算公式（ax，ay）+（bx，by） = （ax+bx，ay+by）

加法：对应位置相加例：（1，-4）+（7，3）=（8，1）

减法：对应位置相减例：（-3，6）-（-4，3）=（1，3）

几何解释：假设有向量（ax，ay）和（bx，by），a向量加b向量最后得到的是从a向量起点到b向量结束之间

形成的新的向量

计算两点间距离：距离公式

平面：设A(X1,Y1)、B(X2,Y2)，　　则∣AB∣=√[(X1－X2)^2+(Y1－Y2)^2]=√(1+k^2) （∣X1－X2∣）^2，

空间：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)， |AB|=√[(x2－x1)^2+(y2－y1)^2+(z2－z1)^2]

·应用范围：计算一个向量到另一个向量的距离（a 到 b 的位移向量为 b-a）

向量的点积计算

·乘法之点积（又称点乘，内积）

·计算公式：（ax，ay）·（bx，by） = （axbx + ayby）

·向量点乘就是分量乘积的和，结果是一个标量，并满足乘法交换律

向量点积的几何意义与向量的投影

·几何解释：点乘记过描述了两个向量方向的“相似”程度，点乘结果越大，夹角角度越小，两个向量越接近(反馈到渲染上就是面的明暗效果）

if 0 <= θ < 90° A·B > 0

if 90 < θ < 180 A·B < 0

if θ = 90° A·B = 0

·计算公式： a · b = |a||b|cosΘ

·投影的几何解释：假设有两个向量 V 和 N，将V分解为两个向量， V平行和 V垂直，V平行平行于 N，V垂直垂直于N，并满足 V = V平行 + V垂直，则称平行分量 V平行为在 N 上的投影

兰伯特光照模型

·兰伯特光照模型是目前最简单通用的模拟漫发射的光照模型

·使光照方向的反方向为 L 向量，法线方向为 N 向量，则有：

L 与 N 方向相同，则Normal · Light = 1（纯亮）

L 与 N 方向相反，则Normal · Light = -1（纯黑）

L 与 N 方向垂直，则Normal · Light = 0（纯黑）

向量的叉积计算

·乘法之叉积（又称叉乘，叉积）仅运用于3D向量

·计算公式：不满足交换律，a x b ≠ b x a，满足逆交换律：a x b = -（b x a)

·向量叉乘就是分量交叉相乘再相减，结果是一个向量且不满足交换律

·几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量

向量叉积的大小与方向判断

计算公式

小作业

兰伯特

Shader Forge节点

unity shader CG语言


Shader "VS/VS_lambert" {Properties {}SubShader {Tags {"RenderType"="Opaque"}Pass {Name "FORWARD"Tags {"LightMode"="ForwardBase"}CGPROGRAM#pragma vertex vert#pragma fragment frag#pragma target 3.0#include "UnityCG.cginc"struct VertexInput {float4 vertex   : POSITION;   // 顶点信息float4 normal   : NORMAL;     // 法线信息 };struct VertexOutput {float4 pos : SV_POSITION;     // 屏幕顶点位置float3 nDirWS   : TEXCOORD2;  // 世界空间法线方向};VertexOutput vert (VertexInput v) {VertexOutput o;o.pos = UnityObjectToClipPos( v.vertex );o.nDirWS = UnityObjectToWorldNormal(v.normal); return o;}float4 frag(VertexOutput i) : COLOR {float3 lDirWS = _WorldSpaceLightPos0.xyz; //光方向float ndotl = dot(i.nDirWS, lDirWS);      //法线点乘光return ndotl;}ENDCG}}FallBack "Diffuse"}

半兰伯特

Shader Forge节点

unity shader CG语言

Shader "VS/VS_lambert" {Properties {}SubShader {Tags {"RenderType"="Opaque"}Pass {Name "FORWARD"Tags {"LightMode"="ForwardBase"}CGPROGRAM#pragma vertex vert#pragma fragment frag#pragma target 3.0#include "UnityCG.cginc"struct VertexInput {float4 vertex   : POSITION;   // 顶点信息float4 normal   : NORMAL;     // 法线信息 };struct VertexOutput {float4 pos : SV_POSITION;     // 屏幕顶点位置float3 nDirWS   : TEXCOORD2;  // 世界空间法线方向};VertexOutput vert (VertexInput v) {VertexOutput o;o.pos = UnityObjectToClipPos( v.vertex );o.nDirWS = UnityObjectToWorldNormal(v.normal); return o;}float4 frag(VertexOutput i) : COLOR {float3 lDirWS = _WorldSpaceLightPos0.xyz; //光方向float ndotl = dot(i.nDirWS, lDirWS);      //法线点乘光float Hlambert = ndotl * 0.5 + 0.5;return Hlambert;}ENDCG}}FallBack "Diffuse"}