用1元，2元，5元，10元，20元,50元组合成100元

100元换零钱1元，2元，5元，10元，20元，50元有多少种组合方案

一道笔试题，当时就懵逼了。。。

找到递推公式之后，其实也不难

F(N,M)=F(N,M-1)+F(N-VAL[M],M)

F(N,M)表示用不超过第M个值的数来表示N 的所有组合方案

举个栗子

我们先看4的组成

4 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1共3种方案

我们再看公式，例如

F(4,6) = F(4,5) + F(4-VAL[6],6)

= F(4,5) + F(4-50,6)

= F(4,5) + F(-46,6)

= F(4,5)

F(4,5) = F(4,4) + F(4-VAL[5],5)

= F(4,4) + F(4-20,5)

= F(4,4) + F(-16,5)

= F(4,4)

F(4,4) = F(4,3) + F(4-VAL[4],4)

= F(4,3) + F(4-10,4)

= F(4,3) + F(-6,4)

= F(4,3)

F(4,3) = F(4,2) + F(4-VAL[3],3)

= F(4,2) + F(4-5,3)

= F(4,2) + F(-1,3)

= F(4,2)

F(4,2) = F(4,1) + F(4-VAL[2],2)

= F(4,1) + F(4-2,3)

= F(4,1) + F(2,3)

F(4,6) 的所有组合方案其实就是F(4,2)的组合方案，毕竟VAL[3]~VAL[6]均大于4，不可能存在更多的组合方案，

所以，

用不超过第6个值的数（即50元）来表示4元的所有组合方案【F(4,6)】

等于用不超过第2个值的数（即2元）来表示4元的所有组合方案【F(4,2)】

那么，

用不超过第2个值的数（即2元）来表示4元的所有组合方案【F(4,2)】

又等于

用不超过第1个值的数（即1元）来表示4元的所有组合方案

加上

用不超过第3个值的数（即5元）来表示2元的所有组合方案【F(4,1)+F(2,3)】

明显F(4,1)所代表的方案就是4=1+1+1+1，即F(4,1)=1

而F(2,3)也可以用上述推导的方式，即F(2,3)=F(2,2)=F(2,1)+F(0,2)=....=F(2,1)+F(0,0)=2

F(0,0)可以理解成用0元来表示0元，这算是1种方案

此时我们就能看出4的组合方案，其实就是

4=2+2

4=2+1+1

【F(4-VAL[2],2)，意味着把红色数字减去，即F(2,2)代表上面两种方案】

4=1+1+1+1

【F(4,1)代表4=1+1+1+1方案】

代码如下：

int main()
{int val[7] = { 0,1,2,5,10,20,50 };int f[101][7];memset(f, 0, sizeof(f));for (int j = 0; j <= 6; j++)f[0][j] = 1;for (int j = 1; j <= 6; j++){for (int i = 1; i <= 100; i++){if (i - val[j] < 0)f[i][j] = f[i][j - 1];elsef[i][j] = f[i - val[j]][j] + f[i][j - 1];}}//cout << test(0, 100) << endl;//cout << ans << endl;cout << f[100][6] << endl;system("pause");return 0;
}

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