《我的第一本算法书》阅读笔记 1-8 二叉查找树

二叉查找树性质

插入数据——插入1

插入数据——插入4

删除节点——节点无子结点的情况

删除节点——有一个字节点的情况

删除节点——节点有子树的情况

查找结点

解说

补充说明

来源

二叉查找树（又叫作二叉搜索树或二叉排序树）是一种数据结构，采用了图的树形结构（关于树形结构的详细说明请参考 4-2 节）。数据存储于二叉查找树的各个结点中。

二叉查找树性质

这就是二叉查找树的示例。结点中的数字便是存储的数据。此处以不存在相同数字为前提进行说明。

二叉查找树有两个性质。第一个是每个结点的值均大于其左子树上任意一个结点的值。比如结点9大于其左子树上的3和8。

同样，结点15也大于其左子树上任意一个结点的值。

第二个是每个结点的值均小于其右子树上任意一个结点的值。比如结点 15 小于其右子树上的 23、17和28。

根据这两个性质可以得到以下结论。首先，二叉查找树的最小结点要从顶端开始，往其左下的末端寻找。此处最小值为3。

反过来，二叉查找树的最大结点要从顶端开始，往其右下的末端寻找。此处最大值为28。

插入数据——插入1

下面我们来试着往二叉查找树中添加数据。比如添加数字1。

首先，从二叉查找树的顶端结点开始寻找添加数字的位置。将想要添加的1与该结点中的值进行比较，小于它则往左移，大于它则往右移。

由于1＜9，所以将1往左移.

由于1＜3，所以继续将1往左移，但前面已经没有结点了，所以把 1 作为新结点添加到左下方。

这样，1的添加操作便完成了.

插入数据——插入4

接下来，我们再试试添加数字4。

和前面的步骤一样，首先从二叉查找树的顶端结点开始寻找添加数字的位置。

由于4＜9，所以将其往左移.

由于4＞3，所以将其往右移。

由于4＜8，所以需要将其往左移，但前面已经没有结点了，所以把 4 作为新结点添加到左下方。

于是4的添加操作也完成了

删除节点——节点无子结点的情况

接下来看看如何在二叉查找树中删除结点。比如我们来试试删除结点28

如果需要删除的结点没有子结点，直接删掉该结点即可。

删除节点——有一个字节点的情况

再试试删除结点8。

如果需要删除的结点只有一个子结点，那么先删掉目标结点……

然后把子结点移到被删除结点的位置上即可。

删除节点——节点有子树的情况

最后来试试删除结点9

如果需要删除的结点有两个子结点，那么先删掉目标结点……

然后在被删除结点的左子树中寻找最大结点……

(Tips : 删除9的时候，我们将“左子树中的最大结点”移动到了删除结点的位置上，但是根据二叉查找树的性质可知，移动“右子树中的最小结点”也没有问题。)

最后将最大结点移到被删除结点的位置上。这样一来，就能在满足二叉查找树性质的前提下删除结点了。如果需要移动的结点（此处为4）还有子结点，就递归执行前面的操作（关于递归，请参照7-4节的内容）。

查找结点

下面来看看如何在二叉查找树中查找结点。比如我们来试试查找12。

从二叉查找树的顶端结点开始往下查找。和添加数据时一样，把12和结点中的值进行比较，小于该结点的值则往左移，大于则往右移。

由于12＞4，所以往右移。

找到结点12了。

解说

我们可以把二叉查找树当作是二分查找算法思想的树形结构体现（二分查找的详细说明在 3-2 节）。因为它具有前面提到的那两个性质，所以在查找数据或寻找适合添加数据的位置时，只要将其和现有的数据比较大小，就可以根据比较结果得知该往哪边移动了。

比较的次数取决于树的高度。所以如果结点数为 n，而且树的形状又较为均衡的话，比较大小和移动的次数最多就是 log2n。因此，时间复杂度为 O(logn)。但是，如果树的形状朝单侧纵向延伸，树就会变得很高，此时时间复杂度也就变成了 O(n)。

补充说明

有很多以二叉查找树为基础扩展的数据结构，比如“平衡二叉查找树”。这种数据结构可以修正形状不均衡的树，让其始终保持均衡形态，以提高查找效率。

另外，虽然文中介绍的二叉查找树中一个结点最多有两个子结点，但我们可以把子结点数扩展为 m（m 为预先设定好的常数）。像这种子结点数可以自由设定，并且形状均衡的树便是 B 树。

来源

《我的第一本算法书》 [日]石田保辉宫崎修一/著张贝/译