从RC低通滤波到卷积的理解

低通滤波器（英语：Low-pass filter）容许低频信号通过，但减弱（或减少）频率高于截止频率的信号的通过。对于不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同。当使用在音频应用时，它有时被称为高频剪切滤波器，或高音消除滤波器。
高通滤波器则相反，而带通滤波器则是高通滤波器同低通滤波器的组合。低通滤波器概念有许多不同的形式，其中包括电子线路（如音频设备中使用的hiss滤波器、平滑数据的数字算法、音障（acoustic barriers）、图像模糊处理等等)。低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域如金融领域中移动平均数（moving average）所起的作用；这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。
从应用形式上可以发现的是，低通滤波器可以将低频信号通过，而低频信号可以视作发生频率较低的事件，即长期趋势下的常见事件，而高频信号则是在短期内急速发生的事件，也就是可以通过低通滤波将短期波动剔除，实现信号平滑。
无源电子滤波器实现：
一个可以作为低通滤波器的简单电路包括与一个负载串联的电阻以及与负载并联的一个电容。电容有电抗作用阻止低频信号通过，低频信号经过负载。在较高频率电抗作用减弱，电容起到短路作用。这个区分频率（也称为转换频率或者截止频率（Hz））由所选择的电阻和电容所确定。
f_c=\frac{1}{2\pi RC}
或者（弧度每秒）：
\omega_c=1/RC
电路如下：

一个理想的低通滤波器能够完全剔除高于截止频率的所有频率信号并且低于截止频率的信号可以不受影响地通过。实际上的转换区域也不再存在。一个理想的低通滤波器可以用数学的方法（理论上）在频域中用信号乘以矩形函数得到，作为具有同样效果的方法，也可以在时域与sinc函数作卷积得到。
然而，这样一个滤波器对于实际真正的信号来说是不可实现的，这是因为sinc函数是一个延伸到无穷远处的函数（extends to infinity），所以这样的滤波器为了执行卷积就需要预测未来并且需要有过去所有的数据。对于预先录制好的数字信号（在信号的后边补零，并使得由此产生的滤波后的误差小于量化误差）或者无限循环周期信号来说这是可实现的。
实时应用中的实际滤波器通过将信号延时一小段时间让它们能够“看到”未来的一小部分来近似地实现理想滤波器，这已为相移所证明。近似精度越高所需要的延时越长。
关于sinc函数，sinc函数（英语：sinc function）是一种函数，在不同的领域它有不同的定义。数学家们用符号sinc(x)表示这种函数。 sinc函数可以被定义为归一化的或者非归一化的，不过两种函数都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：
在数字信号处理和通信理论中，人们把归一化sinc函数定义为
对于所有x ≠ 0，sinc(x)=(sin⁡(πx）)/πx
在数学领域中，人们以前使用的非归一化sinc函数（for sinus cardinalis）被定义为
对于所有x ≠ 0，sinc(x)=(sin⁡(x))/x
在这两种情况下，当x=0时sinc函数的值被定义为以下的极限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。
对于任何实数 a ≠ 0，sinc(0)=lim┬(x→0)⁡〖(sin⁡(ax))/ax=1〗
非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。
关于卷积，从定义上来说，是透过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“移动平均”的推广。
卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。
着重理解定义中的“卷”和“积”。从定义的公式上(f*g)(t)=∫▒f(τ)g(t-τ)dτ，“卷”指的是-τ，“积”显然就是积分或者在离散时是求和。
至于为什么要将其中一个函数翻转，在于卷积从信号处理上来说，一个输入信号到一个系统中，是先输入的时序信号点首先处理的是响应函数的开始，而后依次输出，那么卷积计算后所得的结果是叠加的和，从数学计算上就是将响应函数翻转了，至于平移则是为了对应求解域。积分就是求和叠加罢了。

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参考文章: https://www.sohu.com/a/233360876_466960 参考文章:https://blog.csdn.net/qq_34040067/article/details ...

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