2022大连理工大学《矩阵上机作业》秋(部分题)（by 徐靖昌）

162页12(1).（使用MATLAB语言）

代码如下：

format long
x=2;
fa1 = w(x);
fa2 = z(x);
out = Diedai(x,fa1,fa2);
fprintf('第1次迭代：当前解：%0.9f \t',out);
fprintf('上一步解：2 \t');
jueduizhi=abs(out-x);
fprintf('误差：%0.9f \n',jueduizhi);
i=1;
while jueduizhi>1.0000e-05i=i+1;x=out;fa1 = w(x);fa2 = z(x);out = Diedai(x,fa1,fa2);fprintf('第%d次迭代：当前解：%0.9f \t',i,out);fprintf('上一步解：%0.9f \t',x);jueduizhi=abs(out-x);fprintf('误差：%0.9f \n',jueduizhi);end
function fa1 = w(x)
fa1 = x^3-x^2-x-1;
end
function fa2 = z(x)
fa2= 3*x^2 - 2*x - 1;
end
function out = Diedai(x,fa1,fa2)
out = x-fa1/fa2;
end

结果如下：（结果保留9为小数）

第1次迭代：当前解：1.857142857 上一步解：2 误差：0.142857143
第2次迭代：当前解：1.839544513 上一步解：1.857142857 误差：0.017598344
第3次迭代：当前解：1.839286810 上一步解：1.839544513 误差：0.000257703
第4次迭代：当前解：1.839286755 上一步解：1.839286810 误差：0.000000055

因此迭代四次后结果满足精度要求，X=1.839286755

162页16题.（使用MATLAB语言）

选初值X=1,使用Newton迭代法验证。

代码如下：

format long
x=1;
fa1 = w(x);
fa2 = z(x);
out = Diedai(x,fa1,fa2);
fprintf('第1次迭代：当前解：%0.15f \t',out);
fprintf('上一步解：1.3 \t');
jueduizhi=abs(out-x);
fprintf('误差：%0.15f \n',jueduizhi);
i=1;
while jueduizhi>1.0000e-08i=i+1;x=out;fa1 = w(x);fa2 = z(x);out = Diedai(x,fa1,fa2);fprintf('第%d次迭代：当前解：%0.15f \t',i,out);fprintf('上一步解：%0.15f \t',x);jueduizhi=abs(out-x);fprintf('误差：%0.15f \n',jueduizhi);end
function fa1 = w(x)
fa1 = x^3+2*x^2+10*x-20;
end
function fa2 = z(x)
fa2= 3*x^2+4*x+10;
end
function out = Diedai(x,fa1,fa2)
out = x-fa1/fa2;
end

结果如下：（结果保留15为小数）

第1次迭代：当前解：1.411764705882353 上一步解：1.3 误差：0.411764705882353
第2次迭代：当前解：1.369336470588235 上一步解：1.411764705882353 误差：0.042428235294118
第3次迭代：当前解：1.368808188617532 上一步解：1.369336470588235 误差：0.000528281970703
第4次迭代：当前解：1.368808107821375 上一步解：1.368808188617532 误差：0.000000080796157
第5次迭代：当前解：1.368808107821373 上一步解：1.368808107821375 误差：0.000000000000002

可见，迭代5次后，误差小于1.0000e-08，X=1.368808107821373，所以结果是正确的。

《数值分析方法与应用》

基础知识部分

1. （使用MATLAB语言）

代码如下：

format long
fprintf('当n=100: \n')
leijia1(100)
leijia2(100)
jingque(100)
fprintf('当n=10000: \n')
leijia1(10000)
leijia2(10000)
jingque(10000)
fprintf('当n=1000000: \n')
leijia1(1000000)
leijia2(1000000)
jingque(1000000)function leijia1(n) %从大到小累加计算
s=0;
for i=2:1:ns=s + 1/(i^2-1);
end
fprintf('从大到小累加计算结果为：%0.16f \n',s);
end
function leijia2(n)  %从小到大累加计算
s=0;
for i=n:-1:2s=s + 1/(i^2-1);
end
fprintf('从小到大累加计算结果为：%0.16f \n',s);
end
function jingque(n)
out=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));
fprintf('精确计算结果为：%0.16f \n',out);
end

结果如下：

当n=100: （有效位数：3位）

从大到小累加计算结果为：0.7400495049504949

从小到大累加计算结果为：0.7400495049504949

精确计算结果为：0.7400495049504950

当n=10000: （有效位数：7位）

从大到小累加计算结果为：0.7499000049995057

从小到大累加计算结果为：0.7499000049995000

精确计算结果为：0.7499000049995000

当n=1000000: （有效位数：11位）

从大到小累加计算结果为：0.7499990000005217

从小到大累加计算结果为：0.7499990000004999

精确计算结果为：0.7499990000005000

结论：

计算机计算时存在舍入误差，有时会影响计算结果。
从以上计算数据看，从小到大计算结果与精确结果更接近，所以在进行数值计算过程中，要分析不同的计算方法，避免出现大数吃小数的情况。

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