P5249 [LnOI2019]加特林轮盘赌

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思路

期望dp。
设 a i , j a_{i,j} ai,j为前i个人中，第j个人活到最后的情况。
显然有：
a i , j = P ∗ a i − 1 , j − 1 + ( 1 − P ) ∗ a i , j − 1 , 1 < = i < = n , 1 < = j < = i a_{i,j}=P*a_{i-1,j-1}+(1-P)*a_{i,j-1},1<=i<=n,1<=j<=i ai,j=P∗ai−1,j−1+(1−P)∗ai,j−1,1<=i<=n,1<=j<=i
同时有：
∑ j = 1 i a i , j = 1 \sum^{i}_{j=1}a_{i,j}=1 ∑j=1iai,j=1
那么这里一共n个方程，全部高斯消元？
TLE妥妥地
所以我们不能用高斯消元，那么我们如何提速呢？
n只有 1 0 4 10^4 104，所以可以n方算法，这么说这里计算方程只能O（n）了？
没错，当然是O（n）！
按循环顺序，显然方程第一项是个常数了，我们只需要考虑后面的，运用递归知识（这里O(n)），我们可以求出一个这样的柿子：
x ∗ a i , 1 + y = 1 x*a_{i,1}+y=1 x∗ai,1+y=1,进一步可得 a i , 1 a_{i,1} ai,1，这里就可以递推出 a i , 2 … … a i , i a_{i,2}……a_{i,i} ai,2……ai,i.
不要忘记特判 P P P为0的情况。
code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
double p,a[10010],b[10010],c,d,lc,ld;
int n,k;
void f(int x)
{if (x==1){c=1,d=0,lc=1,ld=0;return;}f(x-1);c=(1-p)*c;d=p*b[x]+(1-p)*d;lc+=c,ld+=d;return;
}
int main()
{cin>>p>>n>>k;if (p==0)//加特林瓦特了{cout<<(n<=1);return 0;}b[2]=a[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){f(i);a[1]=(1-ld)/lc;for (int j=2;j<=i;j++) a[j]=p*b[j]+(1-p)*a[j-1];for (int j=2;j<=i+1;j++) b[j]=a[j-1];}printf("%.12lf",a[k]);return 0;
}

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