1. 实现时变信道高吞吐量的思路

思路	案例	缺点
使用大量物理层配置，从固定的码率、调制和编码方案中选择	802.11n的高通量模式使用基于LDPC码的自适应调制和编码（AMC）方案，包含4种码率*4种调制和编码方案的组合	依赖CSI，系统复杂性高，不适用信道变化迅速和难以预测的情况
在发送方和接收方之间使用无速率码	a seamless rate adaptation strategy	编码过程并未实现最佳度分布

论文编码方式同入门一，创新点：

解码方式用了2-Sum verification decoder，并用Sum-Or tree analysis技术分析解码器的error recovery performance。
对所提出的码的度分布进行优化，以最大化2-Sum verification decoder的error recovery performance。
为了实现容量逼近性能，还对权重分布进行了优化，使信号分布尽可能接近高斯分布。

2. 模拟喷泉码的解码

S=Gb\mathbf{S}=\mathbf{G b}S=Gb，对于SiS_iSi，其连接几个bib_ibi由度分布决定，连接的权重由权重分布决定。

2.1 2-Sum Verification Decoder

类似于Luby[2]针对LT码提出的简单解码器

如果CN cnc_{n}cn 度为1并以权重值 wn,jw_{n, j}wn,j 连接VN vjv_{j}vj，那么用cnc_{n}cn的值除以权重值 wn,jw_{n, j}wn,j 即VN的值

两个VN连接到一个CN的情况:
(vi,vj)={(0,0),if cn=0,wn,i+wn,j≠0(1,0),if cn=wn,i,wn,i≠wn,j(0,1),if cn=wn,j,wn,i≠wn,j(1,1),if cn=wn,i+wn,j≠0\left(v_{i}, v_{j}\right)= \begin{cases}(0,0), & \text { if } c_{n}=0, w_{n, i}+w_{n, j} \neq 0 \\ (1,0), & \text { if } c_{n}=w_{n, i}, w_{n, i} \neq w_{n, j} \\ (0,1), & \text { if } c_{n}=w_{n, j}, w_{n, i} \neq w_{n, j} \\ (1,1), & \text { if } c_{n}=w_{n, i}+w_{n, j} \neq 0\end{cases}(vi,vj)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(0,0),(1,0),(0,1),(1,1), if cn=0,wn,i+wn,j=0 if cn=wn,i,wn,i=wn,j if cn=wn,j,wn,i=wn,j if cn=wn,i+wn,j=0

通过从检查节点中减去已验证的变量节点值，删除所有已验证的变量节点及其所有连接的边

重复步骤1-3，直到VN都被解码，或者再也找不到度1or2的检查节点。

2.2 Sum-Or Tree Analysis technique及其对解码器性能分析结果

将解码器的迭代算法映射到Sum-Or Tree。

定义T1T_1T1表示深度为2l2l2l的树，根系节点深度0。0,2,...,2l0, 2, ..., 2l0,2,...,2l 深度的节点作为或节点，1,3,...,2l−11, 3, ..., 2l-11,3,...,2l−1 作为与节点。
假设每个或节点以概率λi\lambda_iλi独立抽选i个子节点，每个与节点以概率wiw_iwi独立抽选j个子节点，∑iλi=∑iωi=1\sum_{i} \lambda_{i}=\sum_{i} \omega_{i}=1∑iλi=∑iωi=1。树的每一条边上的权重是依概率分布qs\mathbf{q}_{s}qs从集合WsW_{s}Ws中选择。
对于或节点，其值以概率p0p_{0}p0 and 1−p01-p_{0}1−p0分别取值0 or 1，没有子节点的或节点值为0，没有子节点的与节点值为1。与节点在所有子节点为1和仅有一个子节点为0且w1+w2≠0w_{1}+w_{2} \neq 0w1+w2=0的情况下为1，其余情况为0。或节点在所有子节点为0的时候取值0，其余情况取值1.
plp_lpl表示根节点确定为零的概率，那么得到一个迭代式：
pl=λ(1−ω(1−pl−1)−C∑i=2ωipl−1(1−pl−1)i−2)p_{l}=\lambda\left(1-\omega\left(1-p_{l-1}\right)-C \sum_{i=2} \omega_{i} p_{l-1}\left(1-p_{l-1}\right)^{i-2}\right) pl=λ(1−ω(1−pl−1)−Ci=2∑ωipl−1(1−pl−1)i−2)其中λ(x)=∑iλixi,ω(x)=∑iωixi\lambda(x)=\sum_{i} \lambda_{i} x^{i}, \omega(x)=\sum_{i} \omega_{i} x^{i}λ(x)=∑iλixi,ω(x)=∑iωixi，C=1−prob⁡{w1+w2=0}C=1-\operatorname{prob}\left\{w_{1}+w_{2}=0\right\}C=1−prob{w1+w2=0}

解码器的映射：
解码器算法的本质是CNs和VNs之间的信息传递：与VN相邻的CNs中，只要有一个CN确定了某一VN的值，该VN就可以将这一VN的值传递给与其相邻的其余CNs；CNs在接收到所有VN的消息‘1’或者从某一VN收到一个‘0’（有一个VN没有被解析）且其权重wjw_{j}wj有wi+wj≠0w_{i}+w_{j} \neq 0wi+wj=0时（但根据其余的VNs和CN值可以推导出未被解析的VN）向其他相邻的VNs告知该CN已被解析。——“或”运算在VNs上执行，而CN对其子节点的值执行与运算。
当VN和CN的数量足够大时，码的二部图可视为渐近和或树。将每个检查节点映射到与节点，将每个变量节点映射到OR节点。变量节点在l次迭代后未被验证的概率是与或树的根等于零的概率。

性能分析：
给定分布函数ω(x)\omega(x)ω(x) and λ(x)\lambda(x)λ(x)，ωiω_iωi是随机抽选VN节点连接到度为i的CN的概率。
此处论文中描述的太乱了，后续如果需要错误概率推导参考Analysis of random processes via and-or tree evaluation

结论：解码算法第l次迭代的错误概率:
pl+1=e−γμ(ω(1−pl)+C∑i=2ωipl(1−pl)i−2)p_{l+1}=e^{-\gamma \mu\left(\omega\left(1-p_{l}\right)+C \sum_{i=2} \omega_{i} p_{l}\left(1-p_{l}\right)^{i-2}\right)}pl+1=e−γμ(ω(1−pl)+C∑i=2ωipl(1−pl)i−2)，其中γ=N/k\gamma=N / kγ=N/k表示开销，p0=1p_{0}=1p0=1

3. 最佳度和权重分布的获取

问题：对于给定的消息长度和权重集，如何找到了最佳度和权重分布，以最小化2-Sum Verification Decoder的错误概率，并使信号分布尽可能接近高斯分布？

ToDo2：为什么要使信号分布接近高斯分布

当消息满足一致性条件时，使用高斯近似的密度进化算法可以只计算消息的均值。因此，对于满足一致性条件/高斯近似的信噪比进化，也是仅仅传播信息的均值。能简化计算复杂度

不使用该文章方法设计权重和度分布，初期复现以入门一为主。

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