文章目录

前言
课堂笔记
- 1 向量
- - 1.1 向量点积
  - - 1.1.1 点积
    - 1.1.2 点乘的图形学意义
  - 1.2 向量叉乘
  - - 1.2.1 叉乘
    - 1.2.2 叉乘的图形学意义
    - 1.3 建立直角坐标系
- 2 矩阵
- - 矩阵乘法
  - - 矩阵乘法与向量点乘叉乘的相互转换

前言

本文为GAMES101现代计算机图形学入门的学习笔记系列。

我们的系列笔记将分为两部分：

课堂笔记
作业

原课程为2020年2月闫令琪所教授的 GAMES101 现代计算机图形学入门。

课程主页：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html
（幻灯片和课程录像均在此处）

课程共计22节。作业共计8次。

针对人群：计算机图形学入门新手

教材：
Steve Marschner and Peter Shirley的"Fundamentals of Computer Graphics"
第三版或更新版本。目前无官方中文版。
民间翻译：https://www.stubbornhuang.com/1812/

笔记目录

2022-6-3

本节课阅读教材：第 2 章（Miscellaneous Math）；第 5 章（Linear Algebra）

课堂笔记

本节课快速简要介绍所需的线性代数。

分为两部分：

向量：点乘和叉乘
矩阵：矩阵与矩阵乘和矩阵与向量乘

1 向量

向量的长度：∣∣a⃗∣∣||\vec a||∣∣a∣∣
向量的方向：$||\hat a|| = \vec a / $

读作a hat

1.1 向量点积

1.1.1 点积

a⃗⋅b⃗=∣∣a⃗∣∣∣∣a⃗∣∣cos⁡θ\vec a \cdot \vec b = ||\vec a|| ||\vec a|| \cos \theta a⋅b=∣∣a∣∣∣∣a∣∣cosθ

故而可得其夹角theta
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣a⃗∣∣\cos \theta = \frac{\vec a \cdot \vec b} { ||\vec a|| ||\vec a|| } cosθ=∣∣a∣∣∣∣a∣∣a⋅b

对于单位向量，只要点乘就得到了夹角余弦
cos⁡θ=a^⋅b^\cos \theta = \hat a \cdot \hat b cosθ=a^⋅b^

点乘符合交换律、结合律和分配律

（因为点乘得到一个数，所以怎么交换都无所谓）

1.1.2 点乘的图形学意义

找夹角
找投影

向量b在向量a方向上的投影为ka^k \hat aka^
其大小为k=∣∣b⃗∣∣cos⁡θk = ||\vec b|| \cos\thetak=∣∣b∣∣cosθ
方向为向量a的方向

点乘的用处：

用投影将一个向量分解
衡量两个向量有多接近（夹角），例如计算高光
正负决定了两个向量是否是反向的

1.2 向量叉乘

1.2.1 叉乘

叉乘结果是一个向量，它的方向与叉乘的两者都垂直，并遵守右手法则。
用于建立直角坐标系
叉乘不满足交换律，但是交换顺序只需要加一个负号: a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec a\times \vec b =-\vec b \times \vec aa×b=−b×a

用叉乘建立坐标系
例如知道x 与 y轴，找到z轴
x⃗×y⃗=z⃗\vec x \times \vec y = \vec z x×y=z

知道z轴与x轴，找到y轴

z⃗×x⃗=y⃗\vec z \times \vec x = \vec y z×x=y
知道z轴与x轴，找到y轴

(注意，OpenGL采用左手系，与叉乘的右手系恰好相反）

(x y z轮转）

叉乘满足结合律和分配律

叉乘的大小
∣a⃗×b⃗∣∣=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣sin⁡θ|\vec a \times \vec b|| = ||\vec a|| ||\vec b|| \sin \theta ∣a×b∣∣=∣∣a∣∣∣∣b∣∣sinθ

叉乘的方向：与两者垂直，满足右手法则

故可见a⃗×a⃗=0\vec a \times \vec a=0a×a=0，因为自己与自己的夹角正弦为0.

分量形式
a⃗×b⃗=(yazb−zaybzaxb−xazbxayb−yaxb)\vec a \times \vec b =\begin{pmatrix} y_a z_b - z_a y_b \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix} a×b=⎝⎛yazb−zaybzaxb−xazbxayb−yaxb⎠⎞
(记忆方法：下标都是a b - a b；主体是x y z轮转的，例如第一行是没有x， yz轮转，第二行是没有y， z x轮转，第三行是没有z， xy轮转；减号前后只是交换位置）

叉乘写成矩阵形式

a⃗×b⃗=A∗b=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)\vec a\times \vec b = A^*b = \begin{pmatrix} 0 & - z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} a×b=A∗b=⎝⎛0za−ya−za0xaya−xa0⎠⎞⎝⎛xbybzb⎠⎞
记忆方法：也是xyz轮转的。第一行x为0，第二行y处为0，第三行z处为0。负号总是在0的后一个位置。

1.2.2 叉乘的图形学意义

判定左右
判定内外

例如判断b是在a的左边还是右边

只需要计算
a⃗×b⃗\vec a \times \vec b a×b
假如该向量的方向与z轴方向相同，则b在a的左侧
（或者规定垂直纸面向外为正，则ab叉乘为正确定b在a左侧）

例如判断一个点是在三角形的内部还是外部

如果P点都在向量AB, BC, CA的同一侧（左侧或者右侧），那么P在三角形的内部。

所以P点在三角形内部需要同时满足三组判断
{AB→×AP→>0BC→×BP→>0CA→×CP→>0\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} >0 \\ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BP} >0 \\ \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CP} >0 \end{matrix} \right . ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧AB×AP>0BC×BP>0CA×CP>0
或者
{AB→×AP→<0BC→×BP→<0CA→×CP→<0\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}<0 \\ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BP} <0 \\ \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CP} <0 \end{matrix} \right . ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧AB×AP<0BC×BP<0CA×CP<0
(注：这里规定垂直纸面向外为正，实际上叉乘得到的是向量。）

光栅化一个三角形时，要判断像素点在三角形的内部还是外部，就按照这种方法判断。

1.3 建立直角坐标系

规定直角坐标系的三个基满足
∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣=∣∣w⃗∣∣=1u⃗⋅v⃗=v⃗⋅w⃗=u⃗⋅w⃗=0w⃗=u⃗×v⃗\begin{matrix} ||\vec u|| =||\vec v|| =||\vec w|| = 1 \\ \vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec w = \vec u \cdot \vec w = 0 \\ \vec w =\vec u \times \vec v \end{matrix} ∣∣u∣∣=∣∣v∣∣=∣∣w∣∣=1u⋅v=v⋅w=u⋅w=0w=u×v
就认为u v w可组成一个直角坐标系

任何一个向量可以表示为
p⃗=(p⃗⋅u⃗)u⃗+(p⃗⋅v⃗)v⃗+(p⃗⋅w⃗)w⃗\vec p =(\vec p \cdot \vec u) \vec u + (\vec p \cdot \vec v) \vec v +(\vec p \cdot \vec w) \vec w p=(p⋅u)u+(p⋅v)v+(p⋅w)w

2 矩阵

图形学中，矩阵用于变换，包括

平移
旋转
剪切
缩放

矩阵乘法

矩阵
AB=C

矩阵A、B只有满足特定行数和列数才能相乘(mxn)(nxp)=mxp
相乘后的每一个元素是A的行向量点乘B的列向量
例如C的第3行第四列是 A的第三行行向量乘以B的第四列列向量
矩阵乘法没有交换律！

矩阵的转置

矩阵的互逆

矩阵向量相乘

矩阵乘法与向量点乘叉乘的相互转换

点乘：

a⃗⋅b⃗=a⃗Tb⃗\vec a \cdot \vec b = \vec a^T \vec b a⋅b=aTb
左边是点乘，右边是矩阵乘

叉乘

a⃗×b⃗=A∗b=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)\vec a\times \vec b = A^*b = \begin{pmatrix} 0 & - z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} a×b=A∗b=⎝⎛0za−ya−za0xaya−xa0⎠⎞⎝⎛xbybzb⎠⎞
这在上面写过一次。其中A*称为 dual matrix of vector a

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