本博文源于北京理工大学《概率论与数理统计》包含内容为随机变量及其分布的一些知识，下面是其目录。

随机变量及离散型随机变量的定义

因为我们需要根据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。即引入样本空间到实数域空间到实数域上的映射。

随机变量的定义

随机变量与一般实函数的差别

• X随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值；
• 定义域不同
• 由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。

离散型随机变量

离散型随机变量的定义

若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。

离散型随机变量的分布

分布律的意义

所谓的分布不过是全部概率1是如何分布在(分配到)随机变量X各个可能值xi上的。有了离散型随机变量X的分布律后，可以计算X取某值或落入某实数集合内的概率。它完全描述了X取值的概率规律。

离散型随机变量分布的性质

第(2)个的归一性利用的非常多，值得记忆。

离散型随机变量例题

拿到这道题目，第（1）小问直接画表格就行了，先确定X的取值，再对X取值概率求一下，写进表格里，再对概率相加是否为1，判断自己写的是不是对的。第(2)小问就是判断X是否落在区间范围内，比如1<=X<=3只有1，2落在这个范围内，就把两者的概率相加就得出最后的答案。完整的解题过程是这样子的。

离散型随机变量的做题步骤

概括起来就是画表格，满足区间的值相加即可。

重要的离散型随机变量

单点分布

若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1,则称X服从单点分布，也称为退化分布

0-1分布

若随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为

任何一个只有两种可能结果的随机现象，都可以用一个服从两点分布的随机变量来描述。两点分布又称为伯努利分布

二项分布

二项分布是两点分布做n次的情况，下面先看一下伯努利试验。

伯努利试验

n重伯努利试验

将伯努利做个n次就成为n重伯努利试验，伯努利试验学术定义如下：

伯努利试验—打靶问题

拿到问题，发现独立二字，就可能是n重伯努利试验。以四发为次数，恰好命中三发为样本空间，开始进行假设。

因为每个事件都是独立的，所以我们可以直接做乘积

伯努利试验–修机器

先分析一个人负责20台的情况，这种情况只需要20台机器至少一台出故障，这个工人就忙不过来考虑到就行了。


然后考虑3个人维修80台，只需要考虑三人四台出故障的概率，四台不好求，那就它的逆事件三台的情况

伯努利试验定理

二项分布与两点分布的图像差别

几何分布

几何分布的概率背景

要想做某实验，第一次做成功后就收手的概率。

几何分布的定义

几何分布的无记忆性

这也是它的性质，如果前几次都没成功，后面又不成功，那么接下来是否成功不取决于前面的失败。

超几何分布

超几何分布的概率背景

就是摸球的不放回抽样的理论定义。

超几何分布定义

泊松分布

泊松分布的概率背景

为解决电话在一段时间的呼叫次数、公共汽车固定时间内来到的乘客数。

泊松分布的定义

做题中我们用的泊松分布都是为了其他做转化的。

泊松分布例题–呼叫电话

恰有四次那就是λ=3，k=4,带进去算就行了。第(2)问就是λ=3，k=0到5计算泊松分布的值就行了。

超几何分布、二项分布、泊松分布的转化

首先还是需要从一道题目来讲起

恰为两件那就用超几何分布X=2的情景

可是做计算过于麻烦，那就又下面的定理将其转换为二项分布

可是n-m太过于复杂那可如何是好？有下面的定理将二项分布转换为泊松分布。

两者的近似效果如图，会发现近似效果很棒。

例题(分布转化)–射击问题

至少命中一次，那就是分为命中和不命中两种类型，那就会发现这是n重伯努利试验。然后至少一次不好求，那就算一次不命中的概率然后用1减去就行了

λ=np，n=5000,p=0.001,所以就是λ=5，k=0，算出泊松分布的概率值

会发现小概率事件虽不容易发生，但重复次数多了，就成大概率事件了。

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数定义

分布函数的3点说明

1. 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量；
2. 如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）的值就表示X落在区间(-∞,x]的概率；

例题–抛硬币问题

先将其分布律表格画出来，很显然这是两点分布。表格是这样子的

然后开始求分布函数


最后将各个题目的答案汇总，变成一个分段的F（x）

分布函数做题步骤

先算出分布律，然后整出分布函数，公式如下：

分布函数的性质

用分布函数计算某些事件的概率

例题(关于分布函数性质)

利用分布函数的非负性 x->-∞=0 x->+∞=1.可以计算出A与B的值

然后算(-1<=X<=1)，根据F(1)-F(-1)即可

连续型随机变量及其概率密度

随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量。其中非离散型随机变量又分为连续型随机变量与非连续非离散型随机变量。

连续型随机变量与概率密度的定义

设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使对任意的实数x，均有

则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度函数。
连续型随机变量X的分布函数F(x)和概率密度f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布.
易知此时分布函数F（x）是连续函数，即连续型随机变量的分布是连续函数。

概率密度函数的性质

已知分布函数求概率密度

若X为连续型随机变量，概率密度f(x)唯一确定了分布函数F(x);若随机变量X的分布函数F(x)满足：

1. F(x)连续

相关例题

例题1

利用连续性随机变量的性质，在(-∞,+∞)内定积分的值为1，可以解出k的值，k的值算出来，根据区间进行讨论
x<0, 0<=x<3, 3<=x<4 ,x>=4这四部分区间进行讨论，最后合并得出答案，第(3)问利用区间上F(7/2)-F(1)即可。解题过程如下：

重要的连续性随机变量

均匀分布

它的分布函数为：

均匀分布例题

均匀分布就是等可能区间上一种分布，拿到题目先发现公共汽车每隔15分钟发车，那就是7：15来一辆。7：30来一辆。只需要乘客在7：10分和7：25以后等那就不会超过五分钟，因此题目解答就可以很明显了。

指数分布

同样的指数分布有另外的一种表现形式：

服从指数分布的随机变量X具有以下性质：无记忆性或无后效性。如何理解呢，可以认为一个灯泡使用10年坏的概率和使用15年的概率是一样的。完整的证明是这样子的：

正态分布

正态分布是一种应用广泛的分布。其分布函数为：

正态分布函数图像的特点

第一 、正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线。

第二、

正态分布的标准化

正态分布的计算

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