摘要：介绍了动态规划的基本原理，针对水资源分配问题进行了动态规划方法分析。针对具体问题采用逆序解法的表格法进行了计算，然后用MATLAB编制了相应的计算程序进行计算，避免了繁琐的人工计算。结果表明该方法可行、便于应用。

关键词：动态规划 水资源分配问题 MATLAB解法

动态规划是1951年美国数学家贝尔曼根据一类多阶段决策过程的特点，提出了解决这类问题的最优性原理，进而发展出的一种新的最优化方法。动态规划的适用范围比较广泛，对目标函数和约束条件没有严格的要求，特别是对于离散问题，线性规划和非线性规划等解析方法无法应用，而动态规划是解决离散系统最优化的一种有效工具。[1]

1 动态规划的基本解法

1)将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选择状态变量、决策变量以及定义最优指标函数，从而把问题化成一类同类型的子问题，然后逐个求解。

2)求解时从边界条件开始，逆序过程行进，逐段递推寻优。在每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果。最后一个问题的最优解，就是整个问题的最优解。

动态规划逆序法求解的基本方程如下：

2 水资源优化分配问题的动态规划模型描述

2.1 水资源优化分配问题的提出

某供水系统可供水量为 ，用户数为 ，当给第 个用户供水 时所产生的效益为 ,如何合理分配水量才能使总效益最大?

2.2水资源优化分配问题的动态规划模型描述

模型描述如下：

(1)阶段变量 表示第 个用户。

(2)决策变量 第 个用户的供水量 。

(3)状态变量 可用于分配给当前以及以后阶段各用户的水量，即

(4)状态转移方程 根据状态变量可得到状态转移方程为： (5)指标函数 第 阶段的指标函数为第 个用户的效益 。

建立以上模型后，即可采用逆序法进行递推求解。其基本方程为：

3实例分析

3.1 实例概况

有一引水渠系，设计最大流量为6 ，供给四个地区用水，每个地区的用水量与增产效益的关系见表1(效益单位为万元)。求总效益最大的配水方案。(本实例取自文献[2])

表1：引用流量与增产效益的关系

流

量

地

区

123456

甲3.05.57.59.010.010.0

乙3.06.08.09.510.511.0

丙4.06.58.59.09.09.0

丁3.56.07.58.59.09.0

3.2 逆序法的表格计算

利用逆序法的表格计算可知最优分配方案有3个：(1,2,1,2)，(1,2,2,1)，(2,2,1,1)，总效益均为19万元(具体计算略)。

3.3 MATLAB编程及计算

运用MATLAB语言编程，程序如下：

m=1;

A=[0 3 5.5 7.5 9 10 10];

B=[0 3 6 8 9.5 10.5 11];

C=[0 4 6.5 8.5 9 9 9];

D=[0 3.5 6 7.5 8.5 9 9];

for i=1:6

for j=1:6

for k=1:6

for l=1:6

if i+j+k+l==10

d(m)=A(i)+B(j)+C(k)+D(l);

E(m,1)=i-1;

E(m,2)=j-1;

E(m,3)=k-1;

E(m,4)=l-1;

m=m+1;

else

continue;

end

end

end

end

end

MAXNum=d(1);

for n=1:size(d,2)

if d(n)>MAXNum

MAXNum=d(n);

p=n;

else

continue;

end

end

for n=1:size(d,2)

if d(n)==MAXNum

E(n,:)

else

continue;

end

end

MAXNum

运行以上程序的结果如下：

ans =

1 2 1 2

ans =

1 2 2 1

ans =

2 2 1 1

MAXNum =

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4结语

本文介绍了动态规划的基本解法，针对水资源分配问题进行了动态规划方法分析。针对具体问题用MATLAB编制了相应的计算程序进行计算，同逆序法的表格计算对比可知，运用MATLAB编程进行计算可避免繁琐的人工计算，该方法是切实可行的。

参考文献：

[1] 徐渝. 贾涛 运筹学(上册). 北京： 清华大学出版社，2005

[2] 左兼金. 水利水电工程施工组织管理与系统分析. 北京：水利水电出版社，1993

[3] 尚松浩. 水资源系统分析方法及应用. 北京：清华大学出版社，2006

[4] 张志涌 徐彦琴. MATLAB教程：基于6.x版本. 北京：北京航空航天大学出版社，2001

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