判断多项式f(x)=x^2020+20x^1974+38在Z97上是否可约，在Z上是否可约

Sagemath代码

q = 97
K.<x>=Zmod(q)[]
f=x^2020+20*x^1974+38
# f=x^3-x
flag = 0
for i in range(floor(2020/2)):g = x^(q^(i+1))-xif gcd(f,g%f)!=1:print("f(x)在Z",q,"上可约")flag = 1break
if flag==0:print("f(x)在Z",q,"上不可约")

运行结果：f(x)在Z 97 上可约

如果多项式f(x)在Z上可约，那么一定在Zp上可约；
逆否命题：如果Zp上不可约，那么在Z上不可约
通过修改代码中的q来测试，发现能找到这样的q，使得f(x)在Zq上不可约。所以f(x)在Z上也不可约。
（中间计算(x^(q^i)-x)%f(x)可以改用模重复平方算法，这样时间复杂度为log q^i，低一些。）

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