顶点&边

问题引入

七桥问题

问题描述：

故事版：

正经版：

图论基础知识——顶点

图论基础知识——边

有向图&无向图

问题引入

度&图的同构

图的同构

解释一下

同构要求：

同构图与异构图

本来一开始没想写总结的，但是感觉之前写的逻辑比较混乱，然后重点内容不突出，怕回头误导别人，而且自己看着也不方便，所以决定把之前的总结一下（会包括之前的大部分内容），然后把逻辑不清的黑历史删了。o(*￣︶￣*)o

顶点&边

问题引入

首先，讲一个大家都知道的故事。我记得这个故事在小学数学补充读本里出现过，当时引发了我们全班同学对一笔画问题的讨论（以至于全班同学都学会了一笔画梅花……）。

七桥问题

问题描述：

18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

这个问题描述看起来很抽象，我们将问题简化一下（自从昨天看了一个关于动归的博客后，突然开始思考博客的语言应该生动形象，然而我似乎不太擅长语文╮(╯▽╰)╭，大家就凑合一下）

故事版：

有一个叫做哥尼斯堡的小镇，考虑到“ 哥尼斯堡”这个名字不好记，下文我们就称之为G镇。G镇的居民很爱锻炼身体，过着日出而作日落而息的生活，而他们睡前都喜欢到公园里遛弯消食。但是，G镇的居民不是只会享受生活的一群人，他们还热爱思考数学问题。

有一天，一个孩子提出了一个问题：

"我们的公园里有一条河，河上有两个小岛，在两岸小岛之间一共建造了7座桥，如果我想走过所有的桥然后回到我出发的地方应该怎么走呢？”

听到这个问题，整个G镇的居民都陷入了沉思，有的还晚上不睡觉，一遍一遍的在桥上走来走去，但是没有找到答案。

相信有好奇的读者肯定曾经自己也在纸上画过很多遍，但是都没有找到答案。

本来这个问题委实不会影响到G镇居民的生活，毕竟这并不影响到他们的生活。幸运的是，据说，刚好有一位很厉害的数学家刚好就暂住在G镇，这个孩子的问题引起了数学家的注意。

正经版：

有一个简单图，有4个顶点，7条边，问：能否遍历所有的边最后回到起点且不会重复经过同一条边。

这个问题背称为一笔画问题：

/*百度百科介绍

有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）—— 一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）.

图论基础知识——顶点

通过上文的故事版和正经版的对比，可以很容易得看出，顶点也就是问题引入中的四块陆地——即，河的两岸，两个小岛。

那么，抛开这个问题，顶点又是什么呢？

顶点在上述问题中就是所谓的

顶点（vertex）的首字母是V，所以就理所当然的，用V来代表顶点。

顶点，毫无疑问，是一个点，这个点可以有一条边，也可以有n条边。

图论基础知识——边

既然已经讲到边了，那还是顺便也提一下边吧。

所谓边，也就是上面例子里提到的七座桥。

边（edge），因首字母为E，故简记为E。

在图论中，一般，我们用G来表示图，具体原因……还是因为图的英文首字母是G……

所以，一个图常常写作G=(V,E)。

我们可能还会见到这样的写法：

V={a,b,c……}

E={e1,e2,e3……}

这里就是集合的形式了，也就是把所有的顶点和边都分别装到两个分别叫V和E的塑料袋里

→一个图是一个有序的二元组<V，E>，记作G，其中：

(1)

是有限非空集合，称为 顶点集，其元素称为顶点或结点。(2)

是有限集合，称为边集，E中每个元素都有V中的结点对与之对应，称为边。边e既可以是有向的，也可以是无向的。有向边与有序结点对

对应，这时称u为e的起点，v为e的终点。无向边与无序结点对

对应，u，v称为e的两个端点。

要注意：元素不能重复//感觉我在说废话

也就是同一个元素只能出现一次

手绘版的小鬼图遭到各种嘲笑，就不放这里了，后面用到再说╮(╯▽╰)╭

采用图这一名称，是因为他们可以用图形来表示，而这种图形表示有助于人们理解图的许多性质。图论中的大多数定义和概念是根据图形表示提出来的。如果顶点v是边e的一个端点，则称边e和顶点v相关联（Incident)，反之亦然。对于顶点u和v，若（u，v）∈E，则称u和v是邻接或相邻（Adjacent）的；若两条边有共同的顶点，则也称这两条边是相邻的。

两个端点重合的边（度=2），称为环（Loop），端点不重合的边称为连杆（Link）。关联于同一对顶点的两条或两条以上的边称为多重边（Multiple Edge）。

有向图&无向图

问题引入

首先，请大家回忆一下高中的知识——向量，当时我们老师是这么解释的，向量就是有方向的量。

什么是有方向的量？直观感受就是带有箭头的线段，更直接的说法就是比起标量，向量多了方向。

再换个角度，看看向量的近义词——矢量。无论是高中物理还是初中物理都提到了一个概念——力，然后还有一种常见的入门题（受力分析）：

这里，那个带着箭头的G就是有向图（虽然只有两个顶点和一条边）。而我们常见的图形很多都属于无向图，比如上面提到的七桥问题。

如果还是觉得抽象，就联想一下单行道（只允许一个方向通行）——这个即为有向图，

那种双向N车道就可以称为是无向图的边（手动滑稽）

度&图的同构

在无向图中，某个顶点的度是邻接到该顶点的边(或弧)的数目。

在有向图中，度还有"入度"和"出度"之分。
某个顶点的入度，是指以该顶点为终点的边的数目。而顶点的出度，则是指以该顶点为起点的边的数目。
顶点的度=入度+出度。

而小鬼图就是无向图，也就是——没有方向的图。

先谈几点注意：

①若起点与终点重合，即边g和边l（称为——环），则该点（H点和F点的度不是加1而是加二）

②度常用deg(V)来表示，其中V代表的是顶点的名字。举个栗子：deg(A)=1，deg(B)=1，deg(H)=5，deg(L)=6，deg(D)=6，deg(G)=5，deg(K)=2，deg(I)=1，deg(J)=3……以此类推。

③

④一个边肯定最多有两个顶点，而这条边要不然使这两个点的度都增加1要不然使一个点的度增加2（举个栗子，刚刚提到的环）

⑤若G是一般图（n阶），则：

1.它所有点顶点的度的和为偶数

2.奇点（度为奇数的顶点——同理，偶点就是度为偶数的顶点）的个数是偶数个

⑥度序列：

举个栗子，还是刚刚的小鬼图

它的度序列为{6，5，5，5，5，5，3，2，2，1，1，1，1}

很容易看出，这个所谓度序列也就是把所有的度都写到一个集合里然后按降序排列。

⑦

把度为0的顶点称为孤立点（Isolated Vertex），度为1的点称为悬挂点（Pendant Vertex），度为偶数的点称为偶点（Even Vertex），度为奇数的点称为奇点（Odd Vertex）。分别用δ（G）和Δ（G）表示G中顶点的最小度（Minimum Degree），和最大度（Maximum Degree）。

定义①：如果一个图中的每个顶点的度是某一固定整数k，则称该图是k-正则图（k-regular）。正则图中δ（G）=Δ（G）。图1-12所示为1-正则图和3-正则图。

定理②：（握手引理），对每一个图G=（V，E），均有：

显然，任何图中所有顶点的度的和必为偶数。====》③

图的同构

什么是同构呢？

假设，我们有两张图G1和G2

G1=（V1，E1）

G2=（V2，E2）

①若V1 V2之间有一个双射（一一映射）θ

θ：

V1→V2

②满足x1,y1在G1中邻接←→x2,y2在G2中邻接

这样说似乎很抽象//就是很抽象好吗(╯‵□′)╯︵┻━┻

下面通过图片说明：

这就是一个同构的栗子

θ:

a→u

b→v

c→w

d→x

解释一下

顶点a映射到顶点u——a的度为3，u的度也为3，a与bcd邻接，而u也与bcd对应的vwx邻接

----------------------------------------------------------------------

好了，我们再举一个例子：

我们还按照上面的方法构造

θ：

a→u

b→v

c→w

d→x

这回好像，似乎，大概，也许，不同构了

但并非如此！！！

这个构造……(╯‵□′)╯︵┻━┻，什么鬼构造

如果按照

b→w

c→v呢

(＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ==》这两个图还是同构的。

下面补充一个结论：

同构要求：

①点数一样多，边数一样多

②度序列相同

（点数边数一样多不一定同构，同样度序列相同也未必同构）

以上要求全部满足才称为同构，否则必有不同构。

大家可以自己动手画画图，这两个条件都是很好找反例的。

同构图与异构图

两个图G和H是同构图（isomorphic graphs），能够通过重新标记图G的顶点而产生图H。

如果G和H同构，那么它们的阶是相同的，它们大小是相同的，它们个顶点的度数也对应相同。

异构图是一个与同构图相对应的新概念。

传统同构图（Homogeneous Graph）数据中只存在一种节点和边，因此在构建图神经网络时所有节点共享同样的模型参数并且拥有同样维度的特征空间。

而异构图（Heterogeneous Graph）中可以存在不只一种节点和边，因此允许不同类型的节点拥有不同维度的特征或属性。

知乎：有什么算法能确定两图同构

感谢@今天不打怪捉虫

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