【jzoj5337】【NOIP2017提高A组模拟8.25】【夜莺与玫瑰】【莫比乌斯反演】

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我们可以发现一个性质

ans=n+m+∑n−1i=1∑j=1m−1([(i,j)==1](n−i)(m−j)−[(i,j)==2](n−i)(m−j))ans=n+m+\sum_{i=1}^{n-1}\sum{j=1}^{m-1}([(i,j)==1](n-i)(m-j)-[(i,j)==2](n-i)(m-j))

考虑两条重合的直线（以两个端点确定一条直线的线段）会被这两条直线（以两个端点确定一条直线的线段的并）所减去，知道这个性质之后直接莫比乌斯反演就可以了。

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#include<set>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define fr(i,j) for(int i=begin[j];i;i=next[i])
using namespace std;
int const mn=4000+9,mo=1<<30;
int t,n,m,ss[mn],tag[mn],mu[mn];
int main(){freopen("d.in","r",stdin);freopen("d.out","w",stdout);scanf("%d",&t);int lim=4000;mu[1]=1;fo(i,2,lim){if(!tag[i])ss[++ss[0]]=i,mu[i]=-1;fo(j,1,ss[0]){if(i*ss[j]>lim)break;tag[i*ss[j]]=1;mu[i*ss[j]]=-mu[i];if(i%ss[j]==0){mu[i*ss[j]]=0;break;}}}fo(cas,1,t){scanf("%d%d",&n,&m);if(n<m)swap(n,m);LL ans=0;fo(i,1,n-1){LL nn=(n-1)/i,mm=(m-1)/i;ans=(ans+mu[i]*(nn*mm*n*m-m*i*mm*(1+nn)*nn/2-n*i*nn*(1+mm)*mm/2+i*i*(1+nn)*nn/2*(1+mm)*mm/2)-mu[i]*((nn/2)*(mm/2)*n*m-m*i*2*(mm/2)*(1+(nn/2))*(nn/2)/2-n*i*2*(nn/2)*(1+(mm/2))*(mm/2)/2+i*i*4*(1+(nn/2))*(nn/2)/2*(1+(mm/2))*(mm/2)/2))%mo;}printf("%lld\n",((ans*2+n+m)%mo+mo)%mo);}return 0;
}

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ans=n+m+∑n−1i=1∑j=1m−1([(i,j)==1](n−i)(m−j)−[(i,j)==2](n−i)(m−j))ans=n+m+\sum_{i=1}^{n-1}\sum{j=1}^{m-1}([(i,j)==1](n-i)(m-j)-[(i,j)==2](n-i)(m-j))

考虑两条重合的直线（以两个端点确定一条直线的线段）会被这两条直线（以两个端点确定一条直线的线段的并）所减去，知道这个性质之后直接莫比乌斯反演就可以了。

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