大学物理：第10章静电场复习笔记

大学物理

大学物理：第10章静电场复习笔记
一级目录
- 二级目录
- - 三级目录
- 一、电荷与库仑定律
- - 1.电荷
  - 2.库仑定律
  - 3.静电力的叠加原理
- 二、电场与电场强度
- - 1.电场
  - 2.电场强度
  - 3.叠加原理的典型应用
  - （1）均匀带电圆环
  - （2）均匀带电圆盘
  - （3）带电直线段
  - （4）带电平面
  - （5）总结
- 三、电通量，高斯定理
- - 1.电场线（电力线，E线）
  - 2.电通量
  - 3.高斯定理
  - 4.小结求电场强度分布的方法
- 四、静电场环流定理与电势能
- - 1.静电力做功
  - 2.静电场的环度定理
  - 3.电势能
- 五、电势的叠加原理
- - 1.点电荷的电势
  - 2.任意带电体的电势
  - 3.常见带电体电势的求法
  - （1）均匀带电圆环
  - （2）均匀带电球面
  - （3）均匀带电球体电势分布
- 六、等势面
- 七、静电场中的导体
- - 1.导体的静电平衡
  - 2.静电平衡时导体的电荷分布
  - 3.导体表面电场强度和电荷密度的关系
  - 4.静电平衡应用实例
  - 5.静电场中的导体总结
- 八、静电场中的电介质
- - 1.电介质对电场的影响
  - 2.电介质分子的电结构特征
- 九、介质中的高斯定理
- - 1.电位移矢量
- 十、孤立导体的电容
- - 1.电容的定义
  - 2.常见电容器
  - 3.电容器的串并联
- 十一、静电场的能量
- - 1.带电系统的能量
  - 2.电场的能量
  - 2.电场的能量

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一、电荷与库仑定律

1.电荷

电荷是物质的一种属性。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

带电：吸引轻小物体
电量：电荷的多少
- 单位：库伦（C）
- 符号约定：只要不说负号，就是带正电
- 量子性：任何带电体所带的电量总是电子电量的正负整数倍，即:
  e=−1.602×10−19Cq=±Nee=-1.602\times 10^{-19}C\\ q=\pm Ne\\ e=−1.602×10−19Cq=±Ne
- 电荷守恒定律：
  
  孤立系统中的总电荷量是不变的：任意时刻正负电荷的代数和保持不变。

2.库仑定律

（1）点电荷：距离比带电体本身的线度要大很多时，带电体的大小形状就可以忽略，这时可以看做点电荷。

（2）库伦定律的内容：

条件：
- 真空中
- 静止
- 点电荷（大小形状可以忽略）
内容：
- F⃗=14πε0q1q2r3r⃗=14πε0q1q2r2r0⃗r0⃗=r⃗∣r∣其中ε0为真空中的介电常数，记k=14πε0≈9.0×109\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^3}\vec{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec{r^0}\\ \vec{r^0}=\frac{\vec{r}}{|r|}\\ 其中\varepsilon_0为真空中的介电常数，记k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}≈9.0\times10^{9}\\ F=4πε01r3q1q2r=4πε01r2q1q2r0r0=∣r∣r其中ε0为真空中的介电常数，记k=4πε01≈9.0×109

3.静电力的叠加原理

（1）内容：

作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
分散的电荷：F⃗=∑in14πε0q1qiri2ri0⃗均匀的带电体：F⃗=∫dF⃗=∫14πε0qr2dq分散的电荷：\vec{F}=\sum\limits_{i}^{n}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_i}{r^2_i}\vec{r_i^0}\\ 均匀的带电体：\vec{F}=\int d\vec{F}=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}dq\\ 分散的电荷：F=i∑n4πε01ri2q1qiri0均匀的带电体：F=∫dF=∫4πε01r2qdq

二、电场与电场强度

1.电场

电荷与电荷之间的作用力是通过电场实现的
物质{实物场−−具有空间可叠加性都具有能量、质量、动量物质\begin{cases} 实物\\ 场--具有空间可叠加性\\ \end{cases}都具有能量、质量、动量物质{实物场−−具有空间可叠加性都具有能量、质量、动量
静电场：相对于观察者静止，且电量不随时间变化的电荷产生的电场（后面有题目判断一个场是不是静电场）

2.电场强度

（1）试验电荷
{体积小：可以研究电场中各点的场强电量小：不影响原电场的分布\begin{cases} 体积小：可以研究电场中各点的场强\\ 电量小：不影响原电场的分布\\ \end{cases} {体积小：可以研究电场中各点的场强电量小：不影响原电场的分布
（2）电场强度的定义式：
E⃗=F⃗q0可以理解为单位正电荷在电场中某处受到的电场力\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}\\ 可以理解为单位正电荷在电场中某处受到的电场力\\ E=q0F可以理解为单位正电荷在电场中某处受到的电场力
（3）单位：牛顿/库伦: N/CN/CN/C 福特/米: V/mV/mV/m

（4）电场强度的叠加原理：
F⃗=∑Fi⃗E⃗=F⃗q0=∑Fi⃗q0E⃗=∑Ei⃗\vec{F}=\sum\vec{F_i}\\ \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}=\frac{\sum\vec{F_i}}{q_0}\\ \vec{E}=\sum{\vec{E_i}}\\ F=∑FiE=q0F=q0∑FiE=∑Ei
又由电场强度的定义式：
E⃗=F⃗q0=14πε0qr2r0⃗{微分形式：dE⃗=14πε0dqr2r0⃗积分形式：E⃗=∫14πε0dqr2r0⃗\vec{E}=\frac{\vec F}{q_0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{r^0}\\ \begin{cases} 微分形式：d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\vec{r^0}\\ 积分形式：\vec{E}=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\vec{r^0}\\ \end{cases} E=q0F=4πε01r2qr0{微分形式：dE=4πε01r2dqr0积分形式：E=∫4πε01r2dqr0
对于电荷连续分度的带电体，其dq有下面的三种形式：
dq={λdl,λ是线密度σdS,其中σ是面密度ρdV,ρ是体密度dq=\begin{cases} \lambda dl,\lambda是线密度\\ \sigma dS,其中\sigma是面密度\\ \rho dV,\rho是体密度 \end{cases} dq=⎩⎪⎨⎪⎧λdl,λ是线密度σdS,其中σ是面密度ρdV,ρ是体密度

3.叠加原理的典型应用

（1）均匀带电圆环

半径为R，带电量为q的均匀带电圆环，求轴线上任意一点的电场强度

① 确定微元dE⃗d\vec{E}dE
dE=14πε0dqr2dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2} dE=4πε01r2dq
② 正交分解
dEx=dEcosθdEy=dEcosθdE_x=dEcos\theta\\ dE_y=dEcos\theta\\ dEx=dEcosθdEy=dEcosθ
注意：这里的θ\thetaθ始终取的是E⃗\vec{E}E和x⃗\vec{x}x正方向的夹角

由图中对称性可知，垂直于x轴方向的电场叠加结果为0，即
Ey=∫dEy=0E_y=\int dE_y=0\\ Ey=∫dEy=0
注意，如果不是均匀带点圆环则不一定

所以有：
dEx=14πε0cosθdqR2+x2∴E=Ex=∫02πRdEx=∫02πR14πε0cosθdqR2+x2=14πε0qR2+x2cosθ其中cosθ=xx2+R2∴E=14πε0qx(R2+x2)32−−−−−−记住！！！dE_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{cos\theta dq}{R^2+x^2}\\ ∴E=E_x=\int_0^{2\pi R}dE_x=\int_0^{2\pi R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{cos\theta dq}{R^2+x^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2+x^2}cos\theta\\ 其中cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\\ ∴E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}------记住！！！\\ dEx=4πε01R2+x2cosθdq∴E=Ex=∫02πRdEx=∫02πR4πε01R2+x2cosθdq=4πε01R2+x2qcosθ其中cosθ=x2+R2x∴E=4πε01(R2+x2)23qx−−−−−−记住！！！

扩展与延伸问题
- 当x=0时，电场强度为？
  - E=0
- 当x>>R时，电场强度为？
  - E=14πε0qx2E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2}E=4πε01x2q
    
    即此时的圆环可以看做一个点电荷的场，从上述的可以看做点电荷条件也可以得出该结论
- 当x=?，电场强度E达到最大值？
  - 对E的表达式求导得x=22x=\frac{\sqrt{2}}{2}x=22时取得最大值
  - Emax=q22R4πε0(32R2)32E_{max}=\frac{q\frac{\sqrt2}{2}R}{4\pi\varepsilon_0(\frac{3}{2}R^2)^{\frac{3}{2}}}Emax=4πε0(23R2)23q22R

（2）均匀带电圆盘

带电量为q,求轴线上任意一点的电场强度

方法①：二维极坐标

缺点是为二重积分，需要降维，不方便计算

方法②：利用最基础的模型：圆环模型，将圆盘划分为无数个小圆环的叠加
dE=14πε0xdq(r2+x2)32首先要确定dq由均匀带电圆盘:dq=σdS=σdπr2=2πrσdr(其中σ=qπR2)dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{xdq}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\\ 首先要确定dq\\ 由均匀带电圆盘:dq=\sigma dS=\sigma d\pi r^2=2\pi r\sigma dr(其中\sigma=\frac{q}{\pi R^2})\\ dE=4πε01(r2+x2)23xdq首先要确定dq由均匀带电圆盘:dq=σdS=σdπr2=2πrσdr(其中σ=πR2q)
所以由一个圆环将半径由0到R积分即可得整个圆盘的轴线上任意一点的电场强度
E=∫0R14πε0xdq(r2+x2)32=xσ2ε0∫0Rrdr(r2+x2)32=q2πε0R2[1−x(R2+x2)12]E=\int_0^{R}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{xdq}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^{R}\frac{rdr}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0R^2}[1-\frac{x}{{(R^2+x^2)}^{\frac{1}{2}}}]\\ E=∫0R4πε01(r2+x2)23xdq=2ε0xσ∫0R(r2+x2)23rdr=2πε0R2q[1−(R2+x2)21x]

延伸与扩展（改变积分上下限）
- 内径为R1R_1R1外径为R2R_2R2圆环
  - E=∫R1R214πε0xdq(r2+x2)32=xσ2ε0∫R1R2rdr(r2+x2)32=xσ2ε0[1(R12+x2)12−1(R22+x2)12]E=\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{xdq}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{rdr}{(r^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}[\frac{1}{{(R_1^2+x^2)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{{(R_2^2+x^2)}^{\frac{1}{2}}}] E=∫R1R24πε01(r2+x2)23xdq=2ε0xσ∫R1R2(r2+x2)23rdr=2ε0xσ[(R12+x2)211−(R22+x2)211]
- 有圆孔无限大平板
  - E=xσ2ε0[1(R12+x2)12]E=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}[\frac{1}{{(R_1^2+x^2)}^{\frac{1}{2}}}] E=2ε0xσ[(R12+x2)211]
- 无孔无限大平板
  - E=σ2ε0E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} E=2ε0σ

（3）带电直线段

【模型一：待求场强点在直线段的延长线上】

直线长为l，待电量为q

在坐标为x处取一长度为dx的直线段
dq=λdxdE=dq4πε0(l+a−x)2E=∫0ldE=∫0ldq4πε0(l+a−x)2=λ4πε0(1a−1a+l)dq=\lambda dx\\ dE=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 (l+a-x)^2}\\ E=\int_{0}^{l}dE=\int_0^{l}\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 (l+a-x)^2}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+l})\\ dq=λdxdE=4πε0(l+a−x)2dqE=∫0ldE=∫0l4πε0(l+a−x)2dq=4πε0λ(a1−a+l1)

【模型二：点球场强点在直线段外（更为常见）】

dEx=dEcosθ这里尤其要注意θ是dE与x轴正方向的夹角为了方便计算，首先进行统一变量，最方便的是将变量统一为θx=atan(θ−π2)=−acotθdx=acsc2θr2=x2+a2=a2csc2θdq=λdx=λacsc2θdθdEx=dEcosθ=14πε0cosθdqa2csc2θ=λ4πε0acosθdθEx=∫dEx=∫θ1θ2dEx=λ4πε0a(sinθ2−sinθ1)dE_x=dEcos\theta\\ 这里尤其要注意\theta是dE与x轴正方向的夹角\\ 为了方便计算，首先进行统一变量，最方便的是将变量统一为\theta\\ x=atan(\theta-\frac{\pi}{2})=-acot\theta\\ dx=acsc^2\theta\\ r^2=x^2+a^2=a^2csc^2\theta\\ dq=\lambda dx=\lambda acsc^2\theta d\theta\\ dE_x=dEcos\theta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{cos\theta dq} {a^2csc^2\theta}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}cos\theta d\theta\\ E_x=\int dE_x=\int_{\theta_1}^{\theta_2}dE_x=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(sin\theta_2-sin\theta_1) dEx=dEcosθ这里尤其要注意θ是dE与x轴正方向的夹角为了方便计算，首先进行统一变量，最方便的是将变量统一为θx=atan(θ−2π)=−acotθdx=acsc2θr2=x2+a2=a2csc2θdq=λdx=λacsc2θdθdEx=dEcosθ=4πε01a2csc2θcosθdq=4πε0aλcosθdθEx=∫dEx=∫θ1θ2dEx=4πε0aλ(sinθ2−sinθ1)

同理可得,
Ey=λ4πε0a(cosθ1−cosθ2)E_y=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(cos\theta_1-cos\theta_2) Ey=4πε0aλ(cosθ1−cosθ2)

延伸与扩展
- 无限长均匀带电直线(L>>a)
  - θ1=0,θ2=π⇒Ex=0,Ey=λ2πε0a\theta_1=0,\theta_2=\pi\Rightarrow E_x=0,E_y=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}θ1=0,θ2=π⇒Ex=0,Ey=2πε0aλ
- 半无限长均匀带电直线
  - θ1=π2,θ2=π⇒Ex=−λ4πε0a,Ey=λ4πε0a\theta_1=\frac{\pi}{2},\theta_2=\pi\Rightarrow E_x=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 a},E_y=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 a}θ1=2π,θ2=π⇒Ex=−4πε0aλ,Ey=4πε0aλ

（4）带电平面

面密度为σ\sigmaσ，宽度为d，长度为无限长的带电平面在距离轴线正上方a处产生的场强

解法：看做无数条无限长带电直线的集合
要注意σ和λ\sigma和\lambdaσ和λ之间的关系转换
利用无限长带电直线结论：E=∫dEy=λ2πε0a⇒dE=λ2πε0a=σdx2πε0(x2+a2)12利用无限长带电直线结论：E=\int dE_y=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}\\ \Rightarrow dE=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}=\frac{\sigma dx}{2\pi\varepsilon_0 (x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\\ 利用无限长带电直线结论：E=∫dEy=2πε0aλ⇒dE=2πε0aλ=2πε0(x2+a2)21σdx
由对称性可知Ex=0,E=Ey=∫dEyE_x=0,E=E_y=\int dE_yEx=0,E=Ey=∫dEy

所以有：
E=∫dEy=∫−d2d2dEcosθ=σ2πε0∫−d2d2dxx2+a2=σπε0tan(d2a)E=\int dE_y=\int_{\frac{-d}{2}}^{\frac{d}{2}} dEcos\theta=\frac{\sigma}{2\pi \varepsilon_0}\int_{\frac{-d}{2}}^{\frac{d}{2}}\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}tan(\frac{d}{2a})\\ E=∫dEy=∫2−d2ddEcosθ=2πε0σ∫2−d2dx2+a2dx=πε0σtan(2ad)

扩展与延伸问题
- 若平面为无限大平面
  - d→∞d\rightarrow\inftyd→∞
  - E=σπε0E=\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}E=πε0σ
- 两个无限大带电平面
  - 考虑受力情况时额外注意

（5）总结

三、电通量，高斯定理

1.电场线（电力线，E线）

E=dNdS⊥：垂直于电场方向单位横截面积的电场线条数E=\frac{dN}{dS⊥}：垂直于电场方向单位横截面积的电场线条数 E=dS⊥dN：垂直于电场方向单位横截面积的电场线条数

电力线的性质：
- 不相交，不形成闭合曲线
- 起始于正电荷，终止于负电荷

2.电通量

（1）定义：穿过任一曲面的电场线条数
dΦe=EndS=EcosθdSΦe=∫EcosθdSd\Phi_e=E_ndS=Ecos\theta dS\\ \Phi_e=\int Ecos\theta dS\\ dΦe=EndS=EcosθdSΦe=∫EcosθdS
注意方向：穿入为负，穿出为正

3.高斯定理

（1）内容

真空穿过任意一闭合曲面的电通量，在数值上等于该闭合曲面内包围的电量代数和乘以1ε0\frac{1}{\varepsilon_0}ε01
Φe=∮E⃗⋅dS⃗=1ε0∑inqi\Phi_e=\oint \vec{E}·d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum\limits_i^nq_i\\ Φe=∮E⋅dS=ε01i∑nqi
（2）应用：求解某些球对称，面对称，柱对称的场的电场

【根据电荷分布的对称性，选择合适的高斯面】

均匀带电球面：

∮E⃗dS⃗=4πr2E=1ε0∑inqir<R,球面内：∑qi=0⇒E=0r>R,球面外：∑qi=Q⇒E=Q4πr2\oint \vec{E}d{\vec S}=4\pi r^2E=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_i^nq_i\\ r<R,球面内：\sum q_i=0\Rightarrow E=0\\ r>R,球面外：\sum q_i=Q\Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi r^2} ∮EdS=4πr2E=ε01i∑nqir<R,球面内：∑qi=0⇒E=0r>R,球面外：∑qi=Q⇒E=4πr2Q

均匀带电球体，带电量为Q，体密度为ρ\rhoρ

r<R,球内：∮E⃗dS⃗=E4πr2=1ε043πr3ρ⇒E=ρr3ε0r>R,球外：∮E⃗dS⃗=E4πr2=Q⇒E=Q4πε0r2r<R,球内：\oint \vec{E}d\vec{S}=E4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3\rho\\ \Rightarrow E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\\ r>R,球外：\oint \vec{E}d\vec{S}=E4\pi r^2=Q\\ \Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} r<R,球内：∮EdS=E4πr2=ε0134πr3ρ⇒E=3ε0ρrr>R,球外：∮EdS=E4πr2=Q⇒E=4πε0r2Q
无限长带电直线，线密度为λ\lambdaλ

Φe=∮E⃗dS⃗=∫S(侧)E⃗dS⃗+∫S(上底)E⃗dS⃗+∫S(下底)E⃗dS⃗=∫S(侧)E⃗dS⃗=E2πrh=λhε0⇒E=λ2πε0r\Phi_e=\oint \vec{E}d{\vec{S}}=\int_{S(侧)}\vec{E}d{\vec{S}}+\int_{S(上底)}\vec{E}d{\vec{S}}+\int_{S(下底)}\vec{E}d{\vec{S}}=\int_{S(侧)}\vec{E}d{\vec{S}}=E2\pi rh=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}\\ \Rightarrow E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\\ Φe=∮EdS=∫S(侧)EdS+∫S(上底)EdS+∫S(下底)EdS=∫S(侧)EdS=E2πrh=ε0λh⇒E=2πε0rλ

无限大均匀带电平面

Φe=∫E⃗dS⃗=2ES=σSε0⇒E=σ2ε0\Phi_e=\int \vec{E}d{\vec{S}}=2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\\ \Rightarrow E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\\ Φe=∫EdS=2ES=ε0σS⇒E=2ε0σ
无限大均匀带电体

板外：∮E⃗dS⃗=∫S(侧)E⃗dS⃗+∫S(上底)E⃗dS⃗+∫S(下底)E⃗dS⃗=∫S(上底)E⃗dS⃗+∫S(下底)E⃗dS⃗=2ES=ρSdε0⇒E=ρd2ε0板内：∮E⃗dS⃗=2ES=2ρSxε0⇒E=ρxε0板外：\oint\vec{E}d{\vec{S}}=\int_{S(侧)}\vec{E}d{\vec{S}}+\int_{S(上底)}\vec{E}d{\vec{S}}+\int_{S(下底)}\vec{E}d{\vec{S}}=\int_{S(上底)}\vec{E}d{\vec{S}}+\int_{S(下底)}\vec{E}d{\vec{S}}\\ =2ES=\frac{\rho Sd}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}\\ 板内：\oint\vec{E}d{\vec{S}}=2ES=\frac{2\rho Sx}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\\ 板外：∮EdS=∫S(侧)EdS+∫S(上底)EdS+∫S(下底)EdS=∫S(上底)EdS+∫S(下底)EdS=2ES=ε0ρSd⇒E=2ε0ρd板内：∮EdS=2ES=ε02ρSx⇒E=ε0ρx

4.小结求电场强度分布的方法

{一般方法：库伦定理+场的叠加原理对称场：高斯定理\begin{cases} 一般方法：库伦定理+场的叠加原理\\ 对称场：高斯定理\\ \end{cases} {一般方法：库伦定理+场的叠加原理对称场：高斯定理

四、静电场环流定理与电势能

1.静电力做功

做功特点：
- 只与初末位置有关，与路径无关
- 静电力是保守力，静电场是保守力场
推导过程
- 点电荷
dA=F⃗dl⃗=q0E⃗dl⃗=q0q4πε0r3r⃗dl⃗=q0q4πε0r2dr⇒A=∫rarbq0q4πε0r2dr=q0q4πε0∫rarb1r2dr=q0q4πε0(1ra−1rb)dA=\vec{F}d\vec{l}=q_0\vec{E}d{\vec{l}}= \frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}d\vec l=\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr\\ \Rightarrow A=\int_{r_a}^{r_b}\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}dr=\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b})\\ dA=Fdl=q0Edl=4πε0r3q0qrdl=4πε0r2q0qdr⇒A=∫rarb4πε0r2q0qdr=4πε0q0q∫rarbr21dr=4πε0q0q(ra1−rb1)
- 点电荷系
  A=∫a(L)bF⃗⋅dl⃗=∫a(L)bq0(E1⃗+E2⃗+E3⃗+……+En⃗)⋅dl⃗=∫a(L)bq0∑inEi⃗⋅dl⃗=∑in∫a(L)bq0Ei⃗⋅dl⃗=∑inq0q4πε0(1rai−1rbi)A=\int_{a(L)}^{b}\vec{F}·d\vec l=\int_{a(L)}^bq_0(\vec {E_1}+\vec {E_2}+\vec {E_3}+……+\vec {E_n})·d{\vec l}\\ =\int_{a(L)}^bq_0\sum_i^n \vec{E_i}·d\vec l=\sum_i^n\int_{a(L)}^bq_0\vec{E_i}·d\vec{l}=\sum_i^n\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_{ai}}-\frac{1}{r_{bi}})\\ A=∫a(L)bF⋅dl=∫a(L)bq0(E1+E2+E3+……+En)⋅dl=∫a(L)bq0i∑nEi⋅dl=i∑n∫a(L)bq0Ei⋅dl=i∑n4πε0q0q(rai1−rbi1)

2.静电场的环度定理

（1）内容：
∮LE⃗⋅dl⃗=0\oint_L \vec{E}·d\vec{l}=0 ∮LE⋅dl=0
（2）静电场特点：

无旋场
有源场
- 判断是否是静电场

3.电势能

（1）电势能
EpA−EpB=∫ABE⃗⋅dl⃗=−ΔEp=WA−WBA,B两点的电势能之差数值上等于q0从A移动到B点静电力所做的功E_{pA}-E_{pB}=\int_A^B\vec{E}·d\vec{l}=-\Delta E_p=W_{A}-W_B\\A,B两点的电势能之差数值上等于q_0从A移动到B点静电力所做的功 EpA−EpB=∫ABE⋅dl=−ΔEp=WA−WBA,B两点的电势能之差数值上等于q0从A移动到B点静电力所做的功
电势能的定义：将该电荷从一点移动到零势能点时静电力所做的功——————电势能是相对的
WA=∫A"0"q0E⃗⋅dl⃗W_A=\int_A^{"0"}q_0\vec E·d\vec{l}\\ WA=∫A"0"q0E⋅dl

注意
- 电势能属于电荷q0q_0q0和产生电场的场源电荷q共同所有
- “0”势能点的选取是相对的

（2）电势

a. 电势定义
ua=Waq0⇒ua=Aq0=∫a"0"E⃗⋅dl⃗单位正电荷从该点→无穷远处时静电力做的功u_a=\frac{W_a}{q_0}\Rightarrow u_a=\frac{A}{q_0}=\int_a^{"0"}\vec{E}·d\vec{l}\\ 单位正电荷从该点\rightarrow无穷远处时静电力做的功 ua=q0Wa⇒ua=q0A=∫a"0"E⋅dl单位正电荷从该点→无穷远处时静电力做的功
b.电势差
uab=ua−ub=Waq0−Wbq0=∫abE⃗⋅dl⃗u_{ab}=u_a-u_b=\frac{W_a}{q_0}-\frac{W_b}{q_0}=\int_a^b\vec{E}·d\vec{l}\\ uab=ua−ub=q0Wa−q0Wb=∫abE⋅dl
电势差与参考点的选取无关

c.静电场下的功能关系
Aab=∫abq0E⃗⋅dl⃗=q0(ua−ub)电场力做正功：电势能降低电场力做负功：电势能升高A_{ab}=\int_a^bq_0\vec{E}·d\vec{l}=q_0(u_a-u_b)\\ 电场力做正功：电势能降低\\ 电场力做负功：电势能升高\\ Aab=∫abq0E⋅dl=q0(ua−ub)电场力做正功：电势能降低电场力做负功：电势能升高

五、电势的叠加原理

1.点电荷的电势

（取无穷远处为零势能点）
up=∫p∞E⃗⋅dl⃗=∫r∞q4πε0r2dr=q4πε0r−−−−球对称u_p=\int_p^{\infty}\vec{E}·d\vec l=\int_r^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}----球对称 up=∫p∞E⋅dl=∫r∞4πε0r2qdr=4πε0rq−−−−球对称

2.任意带电体的电势

up=∫p"0"E⃗⋅dl⃗=∑in∫p"0"Ei⃗⋅dl⃗=∑inuiu_p=\int_p^{"0"}\vec E·d\vec l=\sum_i^n\int_p^{"0"}\vec{E_i}·d\vec{l}=\sum_i^n u_i up=∫p"0"E⋅dl=i∑n∫p"0"Ei⋅dl=i∑nui

对于点电荷系：
u=∑qi4πε0ri,u∞=0u=\sum\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i},u_{\infty}=0\\ u=∑4πε0riqi,u∞=0
对于连续电荷分布的带电体：
u=∫Qdq4πε0r,u∞=0u=\int_{Q}\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r},u_{\infty}=0\\ u=∫Q4πε0rdq,u∞=0

3.常见带电体电势的求法

（1）均匀带电圆环

a.均匀带电圆环，半径为R，线密度为λ\lambdaλ，求圆环轴线上一点的电势

建立如图所示的坐标系：

dq=λdldu=dq4πε0r=λdl4πε0ru=∫02πRλdl4πε0r=2πRλ4πε0(R2+x2)dq=\lambda dl\\ du=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r}=\frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0r}\\ u=\int_0^{2\pi R}\frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0r}=\frac{2\pi R\lambda}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{(R^2+x^2)}}\\ dq=λdldu=4πε0rdq=4πε0rλdlu=∫02πR4πε0rλdl=4πε0(R2+x2)2πRλ

（2）均匀带电球面

b.带电量为Q的球面球心电势

du=dq4πε0Ru=∫Qdu=∫Qdq4πε0R=Q4πε0Rdu=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0R}\\ u=\int_{Q}du=\int_{Q}\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0R}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\\ du=4πε0Rdqu=∫Qdu=∫Q4πε0Rdq=4πε0RQ

（3）均匀带电球体电势分布

先求出均匀带电球体的场强分布
根据高斯定理可得：{r<R，E=qr4πε0R3r>R，E=q4πε0r2根据高斯定理可得：\begin{cases} r<R，E=\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\\ r>R，E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\ \end{cases} 根据高斯定理可得：{r<R，E=4πε0R3qrr>R，E=4πε0r2q
再求电势分布
根据公式：up=∫p"0"E⃗⋅dl⃗{r>R:u=∫r∞E⃗⋅dl⃗=q4πε0rr<R:u=∫r∞E⃗⋅dl⃗=∫rRE1⃗⋅dl⃗+∫R∞E2⃗⋅dl⃗=q8πε0R3(3R2−r2)根据公式：u_p=\int_p^{"0"}\vec E·d\vec l\\ \begin{cases} r>R:u=\int_r^{\infty}\vec{E}·d{\vec l}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\\ r<R:u=\int_r^{\infty}\vec{E}·d{\vec l}=\int_r^{R}\vec{E_1}·d{\vec l}+\int_R^{\infty}\vec{E_2}·d{\vec l}=\frac{q}{8\pi\varepsilon_0R^3}(3R^2-r^2)\\ \end{cases} 根据公式：up=∫p"0"E⋅dl{r>R:u=∫r∞E⋅dl=4πε0rqr<R:u=∫r∞E⋅dl=∫rRE1⋅dl+∫R∞E2⋅dl=8πε0R3q(3R2−r2)

六、等势面

1.等势面的概念：

规定：相邻等势面之间的电势差相等
注意：
- 沿等势面移动：静电力做功为零
- 等势面与电场线相互垂直
- 电场强度方向总是指向电势降低方向

2.电势与电场强度的微分关系
E=−dudnE=-\frac{du}{dn}\\ E=−dndu
任意一场点P处场强的大小等于沿该点等势面法线方向上的电势变化率，负号表示电场强度的方向指向电势降低的方向

在直角坐标系中有：
Ex=∂u∂x;Ey=∂u∂y;Ez=∂u∂zE_x=\frac{\partial u}{\partial x};E_y=\frac{\partial u}{\partial y};E_z=\frac{\partial u}{\partial z}\\ Ex=∂x∂u;Ey=∂y∂u;Ez=∂z∂u

七、静电场中的导体

1.导体的静电平衡

（1）静电平衡的内容

导体内部和表面都没有电荷的宏观移动时，称导体处于静电平衡状态。

（2）静电平衡的特点

导体内部任何一点处的电场强度为零；
导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直

推论{导体是等势体导体内部场强处处相等推论\begin{cases} 导体是等势体\\ 导体内部场强处处相等\\ \end{cases} 推论{导体是等势体导体内部场强处处相等

2.静电平衡时导体的电荷分布

3.导体表面电场强度和电荷密度的关系

∮E⃗⋅dS⃗=EΔS=σΔSε0⇒E=σε0\oint \vec{E}·d\vec{S}=E\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}\\ \Rightarrow E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\\ ∮E⋅dS=EΔS=ε0σΔS⇒E=ε0σ

4.静电平衡应用实例

5.静电场中的导体总结

导体接地：u地=u导体=0u_地=u_导体=0u地=u导体=0
孤立带电导体接地：电荷全部入地
非孤立导体接地：电荷部分入地【需根据静电平衡条件+电势为0列方程等方法判断电荷分布】

八、静电场中的电介质

1.电介质对电场的影响

E=E0εr——介质中电场减弱εr：电介质的相对介电常数E=\frac{E_0}{\varepsilon_r}——介质中电场减弱\\ \varepsilon_r：电介质的相对介电常数\\ E=εrE0——介质中电场减弱εr：电介质的相对介电常数

真空中的介电常数ε0=8.85×10−12\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}ε0=8.85×10−12
介质中的介电常数ε>ε0\varepsilon>\varepsilon_0ε>ε0
介质的相对介电常数εr=εε0\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}εr=ε0ε

2.电介质分子的电结构特征

（1）分类
{无极分子：整体对外不显电性有极分子：整体对外不显电性\begin{cases} 无极分子：整体对外不显电性\\ 有极分子：整体对外不显电性\\ \end{cases} {无极分子：整体对外不显电性有极分子：整体对外不显电性
（2）电介质的极化

由原本的整体对外不显电性变为显电性

（3）介质中的电场:
E⃗=E0⃗+E′⃗即合场等于外场加上极化电荷产生的场\vec{E}=\vec{E_0}+\vec{E'}\\ 即合场等于外场加上极化电荷产生的场 E=E0+E′即合场等于外场加上极化电荷产生的场

九、介质中的高斯定理

1.电位移矢量

定义：
D⃗=ε0εrE⃗=εE⃗空间分布上的单值函数\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E}\\ 空间分布上的单值函数\\ D=ε0εrE=εE空间分布上的单值函数
介质中的高斯定理
∮SD⃗⋅dS⃗=∑iq0i，内\oint_S \vec{D}·d\vec{S}=\sum_i q_{0i，内} ∮SD⋅dS=i∑q0i，内
D⃗\vec{D}D：由空间中的所有电荷：自由，束缚，S面内，S面外共同决定

∮SD⃗⋅dS⃗\oint_S \vec{D}·d\vec{S}∮SD⋅dS：仅仅由S面内的自由电荷决定

（类比高斯定理，电场强度与电通量）

十、孤立导体的电容

1.电容的定义

C=QU单位：F,mF,uF,pFC=\frac{Q}{U}\\ 单位：F,mF,uF,pF\\ C=UQ单位：F,mF,uF,pF

注意：电容描述的是导体的带电能力，与导体目前带多少电，是否带电无关

例：计算孤立导体球的电容：
C=QU=QQ4πε0R=4πε0RC=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}}=4\pi\varepsilon_0R\\ C=UQ=4πε0RQQ=4πε0R

2.常见电容器

（1）平行板电容器

（2）电容器的电容计算

C=QΔuC=\frac{Q}{\Delta u}C=ΔuQ

3.电容器的串并联

（1）电容器的并联
C=C1U+C2UUC=C1+C2电容器并联之后，耐压能力不变，电容增大C=\frac{C_1U+C_2U}{U}\\ C=C_1+C_2\\ 电容器并联之后，耐压能力不变，电容增大 C=UC1U+C2UC=C1+C2电容器并联之后，耐压能力不变，电容增大

（2）电容器的串联
C=QU1+U2=QQC1+QC2电容器串联,电容变小，耐压能力增强⇒1C=1C1+1C2C=\frac{Q}{U_1+U_2}=\frac{Q}{\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}}\\ 电容器串联,电容变小，耐压能力增强\\ \Rightarrow\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\\ C=U1+U2Q=C1Q+C2QQ电容器串联,电容变小，耐压能力增强⇒C1=C11+C21

十一、静电场的能量

1.带电系统的能量

以平行板电容器为例，计算带电系统的能量
Δu=q(t)C将dq从A板移动到B板需要做功为dA：dA=Δu×dq=q(t)Cdq板上电量0→Q时做的总功为：A=∫0Qq(t)Cdq=Q22C\Delta u=\frac{q(t)}{C}\\ 将dq从A板移动到B板需要做功为dA：dA=\Delta u\times dq=\frac{q(t)}{C}dq\\ 板上电量0\rightarrow Q时做的总功为：\\ A=\int_0^Q\frac{q(t)}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}\\ Δu=Cq(t)将dq从A板移动到B板需要做功为dA：dA=Δu×dq=Cq(t)dq板上电量0→Q时做的总功为：A=∫0QCq(t)dq=2CQ2
又由Q=CUQ=CUQ=CU，上述式子可转化为：
A=Q22C=12CU2=12QUA=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU\\ A=2CQ2=21CU2=21QU
上述结果具有普适性：

将电源断开情况下：
- Q不变
- W=Q22CW=\frac{Q^2}{2C}W=2CQ2
电源不断开的情况下：
- U不变
- W=12CU2W=\frac{1}{2}CU^2W=21CU2

2.电场的能量

忽略边缘效应，对于平行板电容器有：
U=Ed,C=εSd⇒W=12CU2=12εE2Sd=12εE2VU=Ed,C=\frac{\varepsilon S}{d}\Rightarrow W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2Sd=\frac{1}{2}\varepsilon E^2V\\ U=Ed,C=dεS⇒W=21CU2=21εE2Sd=21εE2V
结论：带电系统的能量储存于电场中

能量密度：
ω=WV=12εE2\omega=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2\\ ω=VW=21εE2
不均匀电场中：
dW=ωdVW=∫VdW=∫VωdV=∫V12εE2dVdW=\omega dV\\ W=\int_VdW=\int_V\omega dV=\int_V \frac{1}{2}\varepsilon E^2dV\\ dW=ωdVW=∫VdW=∫VωdV=∫V21εE2dV
1.带电系统的能量

将电源断开情况下：
- Q不变
- W=Q22CW=\frac{Q^2}{2C}W=2CQ2
电源不断开的情况下：
- U不变
- W=12CU2W=\frac{1}{2}CU^2W=21CU2

2.电场的能量