高代｜共轭矩阵自共轭矩阵

共轭矩阵：

若存在一个方阵 A A A的元素为 a i j a_{ij} aij,那么 A A A的共轭矩阵( A H A^H AH)的元素为$(a_{ij})^H $，

也就是说 A A A矩阵的元素先转置，后取共轭，就可以得到共轭矩阵 A H A^H AH。

举例子：

A A A为
( 3 + i 2 1 − 2 j 6 − i 4 − i 3 − 2 i 7 + i 4 1 + 2 i ) \left(\begin{array}{ccc} 3+i & 2 & 1-2 j \\ 6-i & 4-i & 3-2 i \\ 7+i & 4 & 1+2 i \end{array}\right) ⎝⎛3+i6−i7+i24−i41−2j3−2i1+2i⎠⎞

通过变换

( 3 + i 2 1 − 2 j 6 − i 4 − i 3 − 2 i 7 + i 4 1 + 2 i ) → 转置 → ( 3 + i 6 − i 7 + i 2 6 − 1 4 1 − 2 i 3 − 2 i 1 + 2 i ) → 共轭 → ( 3 − i 6 + i 7 − i 2 4 + i 4 1 + 2 i 3 + 2 i 1 − 2 i ) \begin{aligned} &\left(\begin{array}{ccc} 3+i & 2 & 1-2 j \\ 6-i & 4-i & 3-2 i \\ 7+i & 4 & 1+2 i \end{array}\right)\\ &\rightarrow \text{转置} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 3+i & 6-i & 7+i \\ 2 & 6-1 & 4 \\ 1-2 i & 3-2 i & 1+2 i \end{array}\right)\\ & \rightarrow \text{共轭} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 3-i & 6+i & 7-i \\ 2 & 4+i & 4 \\ 1+2 i & 3+2 i & 1-2 i \end{array}\right) \end{aligned} ⎝⎛3+i6−i7+i24−i41−2j3−2i1+2i⎠⎞→转置→⎝⎛3+i21−2i6−i6−13−2i7+i41+2i⎠⎞→共轭→⎝⎛3−i21+2i6+i4+i3+2i7−i41−2i⎠⎞

那么 A H A^H AH为

( 3 − i 6 + i 7 − i 2 4 + i 4 1 + 2 i 3 + 2 i 1 − 2 i ) \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc} 3-i & 6+i & 7-i \\ 2 & 4+i & 4 \\ 1+2 i & 3+2 i & 1-2 i \end{array}\right) \end{aligned} ⎝⎛3−i21+2i6+i4+i3+2i7−i41−2i⎠⎞

自共轭矩阵：

别名： H e r m i t e Hermite Hermite阵、埃米尔特矩阵。

若存在一个方阵 A A A的元素为 a i j a_{ij} aij，且 a i j = ( a i j ) H a_{ij} = (a_{ij})^H aij=(aij)H，那么 A A A为自共轭矩阵，

也就是说 A = A H A = A^H A=AH。

举例子： A A A为

( 3 2 + i 2 − i 1 ) → 转置 → ( 3 2 − i 2 + i 1 ) → 共轭 → ( 3 2 + i 2 − i 1 ) \left(\begin{array}{cc} 3 & 2+i \\ 2-i & 1 \end{array}\right) \rightarrow \text{转置} \rightarrow\left(\begin{array}{ll} 3 & 2-i \\ 2+i & 1 \end{array}\right) \rightarrow \text{共轭} \rightarrow\left(\begin{array}{cc} 3 & 2+i \\ 2-i & 1 \end{array}\right) (32−i2+i1)→转置→(32+i2−i1)→共轭→(32−i2+i1)

那么 A A A为自共轭矩阵，且 A A A的对角线元素必须为实数，而实对称矩阵是自共轭矩阵的一个特例。