算法导论笔记：12二叉搜索树

1：概念

二叉搜索树也叫二叉排序树，它支持的操作有：SEARCH, MINIMUM, MAXIMUM, PREDECESSOR, SUCCESSOR, INSERT, DELETE。所以，一颗二叉搜索树既可以作为一个字典，又可以作为一个优先队列。

二叉搜索树的基本操作时间与这棵树的高度成正比。二叉搜索树的高度可以从Ө(lgn) 到 Ө(n)。

二叉搜索树可以用链表来存储，每个节点包括：key，卫星数据，left, right, p指针。

二叉搜索树的性质是：设x为二叉查找树中的一个节点，如果y是x的左子树中的一个节点，则y.key <= x.key；如果y是x的右子树中的一个节点，则y.key >= x.key。这个性质对树中的每个节点都成立。对于一组值，可以用不同的二叉搜索树表示。如下图：

二：按序输出

中序遍历二叉搜索树，就可以将树中的元素按序输出。中序遍历的时间是：Ө(n)。

三：查询操作

二叉搜索树除了支持SEARCH操作之外，还支持MINIMUM, MAXIMUM, SUCCESSOR, PREDECESSOR的查询操作。这些操作都可以在O(h)时间内完成，h为二叉搜索树的高度

1：SEARCH

递归算法：

TREE-SEARCH(x, k)

If x == null or k == x.key

Return x

If k < x.key

Return TREE-SEARCH(x.left, k)

Else

Return TREE-SEARCH(x.right, k)

迭代算法：对于大多数计算机来说，迭代版本的效率要高

ITERATIVE-TREE-SEARCH(x, k)

While x != NULL and k != x.key

If k < x.key

x = x.left

Else x = x.right

Return x

2：MAXIMUM, MINIMUM

找最小元素，就是从树根开始，一直沿着左子树向下寻找，直到找到一个节点，它没有左孩子。

找最大元素，就是从树根开始，一直沿着右子树向下寻找，直到找到一个节点，它没有右孩子。

TREE-MINIMUM(x)

while x.left != NULL

x= x.left

return x

TREE-MAXIMUM(x)

while x.right != NULL

x=x. right

return x

3：SUCCESSOR, PREDECESSOR

给定一个二叉搜索树中的一个节点，有时候需要按中序遍历的次序查找它的后继或者前驱。

节点x的后继就是大于x.key的最小关键字的节点。如果x的右子树非空，则x的后继就是x的右子树中的最小节点。如果x的右子树为空，则需要从x开始向上寻找，直到找到x的一个祖先，他有左孩子。这个祖先就是x的后继。

TREE-SUCCESSOR(x)

If x.right != NULL

Return TREE-MINIMUM(x.right)

Y= x.p

While y != NULL and x== y.right

X = y

Y = y.p

Return y

如果节点中不含有p指针的话，则是：

TREE-SUCCESSOR2(T, x)

If x.right != NULL

Return TREE-MINIMUM(x.right)

Y = T.root

Cur = NULL

While y != NULL and x.key != y.key

If x.key < y.key

Cur = y

Y = y.left

Else

Y = y.right

Return cur

节点x的前驱就是小于x.key的最大关键字的节点。如果x的左子树非空，则x的后继就是x的左子树中的最大节点。如果x的左子树为空，则需要从x开始向上寻找，直到找到x的一个祖先，他有右孩子。这个祖先就是x的前驱。

TREE-PREDECESSOR(x)

If x.left != NULL

Return TREE-MAXIMUM(x.left)

Y= x.p

While y != NULL and x== y.left

X = y

Y = y.p

Return y

如果节点中不含有p指针的话，则是：

TREE- PREDECESSOR (T,x)

If x.left != NULL

Return TREE- MAXIMUM (x. left)

Y = T.root

Cur = NULL

While y != NULL and x.key != y.key

If x.key > y.key

Cur = y

Y = y. right

Else

Y = y.left

Return cur

四：插入和删除

插入和删除操作都会改变二叉搜索树，但是同时要保证二叉搜索树的性质

插入和删除操作的运行时间为O(h)，h为二叉搜索树的高度

1：插入

要插入的新节点都将成为一个叶子节点，插入操作较简单，代码如下：

TREE-INSERT(T, z)

Y = NULL

X = T.root

While x != NULL

Y= x

If z.key < x.key

X= x.left

Else x = x.right

z.p = y

if y == NULL

T.root = z

Else if z.key < y.key

y.left = x

else

y.right = x

2：删除

删除操作较复杂，需要区分不同的情况：

a：如果z没有孩子节点，则简单的将z删除即可

b：如果z有一个孩子节点，则将孩子节点提升到z的位置上即可

c：如果z有两个孩子，那么需要找到z的后继y，y一定在z的右子树中。如果y是z的右孩子，那么y一定没有左孩子（参见后继算法），此时用y替换z即可；如果y不是z的右孩子，则需要用y的右孩子替换y，然后用y替换z。

如下图：

为了在二叉搜索树中移动子树，定义子过程TRANSPLANT，它用一颗子树替换另一颗子树：

TRANSPLANT(T,u,v) //用v替换u

If u.p == NULL

T.root = v

Else if u == u.p.left

u.p.left = v

else u.p.right = v

if v != NULL

v.p = u.p

该过程只是使u的双亲成为v的双亲，并没有处理v的孩子节点的更新，这需要调用者来处理：

TREE-DELETE(T, z)

If z.left == NULL

TRANSPLANT(T, z, z.right)

Else if z.right == NULL

TRANSPLANT(T, z, z.left)

Else y = TREE-MINIMUM(z.right)

If y.p != z

TRANSPLANT(T, y, y.right)

y.right = z.right

y.right.p = y

TRANSPLANT(T, z, y)

y.left = z.left

y.left.p = y

五：随机构建二叉搜索树

二叉搜索树的操作都能在O(h)时间内完成，h是二叉搜索树的高度。在构建二叉搜索树的时候，如果n个关键字是按照递增的顺序插入的话，那么这个树的高度为n-1。这是最坏的情况，所以可以对n个关键字进行随机化：随机构建二叉搜索树为按随机次序插入关键字到一颗初始空树，这里输入关键字排列共有n!种，每个个排列都是等可能的。

一颗有n个不同关键字的随机构件二叉搜索树的期望高度为O(lg n)

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