IEEE802.16e 协议中LDPC编解码原理说明

信道编码

信号传输过程中，考虑到稳定性的需要，发送端可以对信息进行编码。目前在数据传输中，主要有三种误码控制的方法，即自动请求重发(ARQ)、前向纠错(FEC)和混合纠错(HEC)方式。

在传输过程中发生错误后能在收端自行发现或纠正的码。仅用来发现错误的码一般常称为检错码。为使一种码具有检错或纠错能力，须对原码字增加多余的码元，以扩大码字之间的差别，即把原码字按某种规则变成有一定剩余度（见信源编码）的码字，并使每个码字的码之间有一定的关系。关系的建立称为编码。码字到达收端后，可以根据编码规则是否满足以判定有无错误。当不能满足时，按一定规则确定错误所在位置并予以纠正。纠错并恢复原码字的过程称为译码，

在整个通信系统中，信道编码与调制解调系统一起，构成数字信号处理部分。值得注意的是，信道编码、解码与信号调制、解调并不完全是对称的互为逆过程。具体来说，带有信道编码的过程简化如下：

信道编码->数字调制->信道传输->信道解码

在接收端中，处理后的数据直接进行信道解码，没有解调部分。因为信道解码，需要保留数据原始的概率信息，来进行校验和解码。

ldpc码构造

ldpc码，全称为“低密度奇偶校验码”，是基于低密度奇偶校验矩阵的线性分组码。关于LDPC的基础知识，可以参考这两篇文章：《基于IEEE 802.16e协议的码编译码算法的研究》与《IEEE 802.16e标准中LDPC编码的实现与仿真》。

在实现过程中，可以参考IEEE802.16e协议，构建LDPC矩阵。

该协议采用基本矩阵扩展法，由协议中给出的几个基本矩阵，根据不同的扩展因子，生成最后的校验矩阵。以协议中1/2码率的基本矩阵为例，1/2码率的基本矩阵Hb，大小为12x24。扩展因子k决定了最终校验矩阵的大小，设k=96，则最终生成的校验矩阵H大小为1152x2304。基本矩阵Hb中，只包含了-1，0以及正整数三类元素。在扩展过程中，基本矩阵中的每一个元素，都会被替换成一个kxk大小的矩阵，替换策略如下：若元素为-1，则该位置被替换成一个全零矩阵；若元素为0，则该位置被替换成一个单位矩阵；若元素为正整数n，则将单位矩阵循环右移n位，再替换到该位置处。

根据上述方法，可以构造一个码率为1/2，大小为1152x2304的校验矩阵H。

ldpc编码

基本编码方法，见给出的参考文章。在802.16e协议中，结合校验矩阵的特殊结构，可以采用更优的编码方法。

假设信息序列为s，校验序列为p，生成序列为c，s=[s p]。校验矩阵H，可以左右两个对半分成两个矩阵H1，H2，则根据校验公式：
H ∗ c T = 0 H * c^T = 0 H∗cT=0
将c分为s和p，H分为H1,H2，可以将公式转化为：
[ H 1 H 2 ] ∗ [ s p ] T = 0 H 1 ∗ s T = H 2 ∗ p T [H1 \quad H2]*[s\quad p]^T = 0 \quad\quad\quad H1*s^T = H2*p^T [H1H2]∗[sp]T=0H1∗sT=H2∗pT
(此处只考虑二值ldpc情况，即在编解码过程中，只有0与1的操作，在公式推导中考虑到这个情况即可。)

根据公式，在编码过程中，可以用H1，H2，s，求出p：
p T = H 2 − 1 ∗ H 1 ∗ s T p^T = H2^{-1} *H1 * s^T pT=H2−1∗H1∗sT
然而，考虑到H2矩阵的特殊结构，即准对角线结构。在H2矩阵对应的基本矩阵Hb2中，一行只有两个或三个数为非-1数，代表着在校验矩阵中，对应位置均为全零矩阵。

因此，可以将信息序列s，校验序列p，均以扩展因子k为大小，进行分组。
[ H b 2 1 , 1 H b 2 1 , 2 ⋯ H b 2 1 , 12 H b 2 2 , 1 H b 2 2 , 2 ⋯ H b 2 2 , 12 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ H b 2 12 , 1 H b 2 12 , 2 ⋯ H b 2 12 , 12 ] ∗ [ p 1 T p 2 T ⋯ p 12 T ] = [ H b 1 1 , 1 H b 1 1 , 2 ⋯ H b 1 1 , 12 H b 1 2 , 1 H b 1 2 , 2 ⋯ H b 1 2 , 12 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ H b 1 12 , 1 H b 1 12 , 2 ⋯ H b 1 12 , 12 ] ∗ [ s 1 T s 2 T ⋯ s 12 T ] \left[ \begin{matrix} {Hb2_{1,1}} & {Hb2_{1,2}} & {\cdots} & {Hb2_{1,12}} \\ {Hb2_{2,1}}&{Hb2_{2,2}}&{\cdots}&{Hb2_{2,12}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\ {Hb2_{12,1}}&{Hb2_{12,2}}&{\cdots}&{Hb2_{12,12}} \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} {p^T_{1}}&{p^T_{2}}&{\cdots}&{p^T_{12}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} {Hb1_{1,1}}&{Hb1_{1,2}}&{\cdots}&{Hb1_{1,12}}\\ {Hb1_{2,1}}&{Hb1_{2,2}}&{\cdots}&{Hb1_{2,12}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {Hb1_{12,1}}&{Hb1_{12,2}}&{\cdots}&{Hb1_{12,12}}\\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} {s^T_{1}}&{s^T_{2}}&{\cdots}&{s^T_{12}}\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡Hb21,1Hb22,1⋮Hb212,1Hb21,2Hb22,2⋮Hb212,2⋯⋯⋱⋯Hb21,12Hb22,12⋮Hb212,12⎦⎥⎥⎥⎤∗[p1Tp2T⋯p12T]=⎣⎢⎢⎢⎡Hb11,1Hb12,1⋮Hb112,1Hb11,2Hb12,2⋮Hb112,2⋯⋯⋱⋯Hb11,12Hb12,12⋮Hb112,12⎦⎥⎥⎥⎤∗[s1Ts2T⋯s12T]
将上述公式展开，得到一组12行公式。通过观察发现，对Hb2矩阵来说，从第二列到第十一列，每一列中间只有2个0，其他均为-1。因此，将12行公式进行累加，在等号左边，只剩下p1^T，因此可以求解出p1^T，并依次接触其他校验序列分组。总结公式如下：
p 1 T = ( H b 2 1 , 1 + H b 2 6 , 1 + H b 2 12 , 1 ) − 1 ) ∗ ∑ i = 1 12 ∑ j = 1 12 H b 1 i , j ∗ s j p_1^T = (Hb2_{1,1}+Hb2_{6,1}+Hb2_{12,1})^{-1})*\sum_{i=1}^{12}{\sum_{j=1}^{12}{Hb1_{i,j}*s_{j}}} p1T=(Hb21,1+Hb26,1+Hb212,1)−1)∗i=1∑12j=1∑12Hb1i,j∗sj
再从p1^T，即可推导出其他校验序列分组。
p 2 = ∑ j = 1 12 H b 1 1 , j ∗ s j + H b 2 1 , 1 ∗ p 1 p_2 = \sum_{j=1}^{12}{Hb1_{1,j}*s_{j}} + Hb2_{1,1}*p_1 p2=j=1∑12Hb11,j∗sj+Hb21,1∗p1

p i = ∑ j = 1 12 H b 1 i − 1 , j ∗ s j + p i − 1 p_i = \sum_{j=1}^{12}{Hb1_{i-1,j}*s_{j}} + p_{i-1} pi=j=1∑12Hb1i−1,j∗sj+pi−1

上述即为再802.16e协议下，针对准对角线校验矩阵的编码算法。

LDPC译码

详情可以参考上述参考文章，通俗易懂。

16QAM下的LLR译码方法

针对多bit调制解调方法，如何确定每一位的初始概率分布问题，可以参考该文章：Demapper以及LLR。