创意平板折叠桌题目详情

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

符号说明：

根据该创意平板折叠桌折叠后的形态，我们以圆形桌面的圆心在地面上的投影为原点，以竖直向上且过桌面圆心的直线为 z 轴，以过原点且垂直于钢筋的直线为 y 轴，以过原点且平行于钢筋的直线为 x 轴，建立合适的空间直角坐标系。如下图所示：

问题一：

根据题意可知，该创意平板折叠桌折叠前是平板状态，且中心对称，因此对于圆形桌面只分析其四分之一，木条是由一根根木条组成的近似圆。对于圆形桌面木条的弦长求解可以用圆的弦长公式进行计算：

其中第i 根木条对应的弦长ti 如下图所示（这里只取前9根木条）：

用弦长公式求出桌面前9根木条的弦长，再用拟合求出最后一个木条的半弦长，最终拟合结果如下：

拟合函数表达式：

最终得到的弦长及桌腿木条长度如下：

在木条折叠过程中，钢筋在空槽中的位置也发生变化。显然，当折叠桌平铺为平板状态时，钢筋位于木条空槽的最里端，当折叠桌折叠为桌子形态时，钢筋位于木条空槽的最外端。因此，用最外侧

木条长度减其它木条长度即可得到每条木条的开槽长度。得到的开槽长度如下：

代码如下：

x=[2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5];
t=zeros(9,1);
for i=1:9t(i)=sqrt(25^2-(2.5*i)^2);
end
a=polyfit(x,t,2);
y=polyval(a,25);
x0=2.5:0.1:25;
y0=zeros(1,226);
n=1;
for xx=2.5:0.1:25yy=a(1)*xx^2+xx*a(2)+a(3);y0(n)=yy;n=n+1;
end
plot(x,t,'b*',25,7.5687,'b*',x0,y0,'--');
t(10)=7.5687;
m=zeros(10,1);
for i=1:10m(i)=60-t(i);
end
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',t,'sheet1','A2:A11');
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',m,'sheet1','B2:B11');
kc=zeros(10,1);
r=sqrt(m(10)^2-50^2);
for i=1:10kc(i)=m(10)-m(i);
end
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',kc,'sheet1','C2:C11');

求桌面边缘线点的坐标：

（1）桌面边缘线点、桌腿边缘点与桌腿木条长度构成勾股定理。

（2）根据两点确定一条直线，由桌面边缘处点的坐标，桌腿与钢筋连接处的坐标确定桌腿边缘点的坐标

因此可建立二元一次方程组：

用matlab解二元方程组，代码如下：


y3=zeros(10,1);z3=zeros(10,1);
x1=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','F13:F22');
y1=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','G13:G22');
z1=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','H13:H22');
x2=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','K13:K22');
y2=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','L13:L22');
z2=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','M13:M22');
x3=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','O13:O22');
for i=1:10syms y z; % 定义u v 是未知量eqns=[(y1(i)-y)^2+(50-z)^2==m(i)^2,(z2(i)-z1(i))/(z-z2(i))==(y2(i)-y1(i))/(y-y2(i))]; % 定义方程组vars=[y,z]; % 定义求解的未知量[solU,solV]=solve(eqns,vars); % 求解eqns中的vars未知量，分别存储sol=solve(eqns,vars); % 求解eqns中的vars未知量，以结构体的形式存储到sol中solU1=sol.y; % 从sol结构体中取出变量u的解solV1=sol.z ;% 从sol结构体中取出变量v的解solU1=double(solU1);solV1=double(solV1);y3(i)=solU1(1);z3(i)=solV1(1);
end
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',y3,'sheet1','P3:P11');
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',z3,'sheet1','Q3:Q11');

最终得到桌腿边缘处点的坐标：

运用matlab描绘桌腿边缘线，代码如下：

x4=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','O3:O22');
y4=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','P3:P22');
z4=xlsread('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx','sheet1','Q3:Q22');
plot3(x4,y4,z4);
hold on
plot3(x4,y4,z4,'*')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

问题二：

根据题意可知，折叠后桌子的高度为70cm ，桌面直径为80cm。用b 表示平板高度，用d 表示平板长度。

用lingo求解该模型（代码如下:）

min=80*b*d;
p=(28*@tan(a)-70+b)/@tan(a);
q=(28^2+(28*@tan(a))^2)^(1/2)-p/@cos(a);
d=2*(p+q);
p>0;
q>70-b;
p+q>80;
b>1;

在得到平板规格后，按照问题一的方法求半弦长，开槽长度，桌腿木条长度等，其中求半弦长用了拟合，拟合的函数表达式及拟合曲线如下：

代码如下：

x=[2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5];
t=zeros(15,1);
for i=1:15t(i)=sqrt(40^2-(2.5*i)^2);
end
a=polyfit(x,t,2);
y=polyval(a,40);
x0=2.5:0.1:40;
y0=zeros(1,226);
n=1;
for xx=2.5:0.1:40yy=a(1)*xx^2+xx*a(2)+a(3);y0(n)=yy;n=n+1;
end
plot(x,t,'b*',40,11.4303,'b*',x0,y0,'--');
t(16)=11.4303;
m=zeros(16,1);
for i=1:16m(i)=80-t(i);
end
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',t,'sheet2','A2:A17');
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',m,'sheet2','B2:B17');
kc=zeros(16,1);
r=sqrt(m(16)^2-50^2);
for i=1:16kc(i)=m(16)-m(i);
end
xlswrite('F:\第十二道问题：创意平板\创意平板.xlsx',kc,'sheet2','C2:C17');

求得钢筋水平位置在23.4617cm 处，钢筋的竖直高度在34.5cm处

问题三：

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