数据结构——表达式求值

1.介绍

表达式分为中缀表达式，后缀表达式和前缀表达式。

前缀表达式又叫波兰式，而后缀表达式又叫逆波兰式，因为一开始研究这个的是个波兰数学家。

其中，我们最熟悉的就是中缀表达式。如下：

（15-2）*3+4/2

表达式分为三个部分，操作数、运算符和界限符。

操作数就是上面的数字，运算符就是加减乘除一类的运算符号，界限符就是我们熟悉的大括号、中括号和小括号。

实际上，界限符是决定运算顺序的符号。

对于五加三，三种表达式有三种不同的表达方式，而其中的意思并没有变化，结果相同。

中缀表达式就是运算符号置于两个操作数之间，如5+3。

而后缀表达式就是将运算符置于两个操作数之后，如 5 3+。

那么前缀表达式就是将运算符置于两个操作数之前，如 +5 3。

注意：这里数字的顺序是不能改变的，尤其对于-*/这三种运算符，这和5-3跟3-5不同是一样的道理。

对于上面的5相同的地位的数称为前操作数，对于上面的3相同的地位的数称为后操作数。

2.操作

我们知道一个表达式最终目的是化为一个操作数，因此，我们就可以在复合表达式中，将某个部分表达式视为一个操作数。

比如说（15-2）*3+4/2，我们就可以将（15-2）*3当成一个操作数去对待，而不用管表达式里面如何如何复杂。

（1）将中缀表达式转换为后缀表达式

举个例子：

（15-2）*3+4/2将这个中缀表示式化为后缀表达式。

我们先确定运算的顺序，如下：

第一步：15 2 -，我们将这个部分表达式视为一个操作数，进行下一步。

第二步： 15 2 - 3 *，操作数顺序不能颠倒。

第三步： 15 2 - 3 * 4 2 /，这里又增加了一个‘操作数’，进行下一步。

第四步： 15 2 - 3 * 4 2 / +，最终的到的式子就是后缀表达式。

其实，有的中缀表达式，不止一个运算顺序，因此，也就有不同的后缀表达式相对应。

如：15/5*3+5-2

我们既可以先算乘法，再算除法，也可以先算除法，再算乘法。

在乘除运算之后，我们既可以先算加法，也可以先算除法。

对于算法来说，算法具有确定性，因此计算机一般转换时都是按‘左优先’算法转换的，即假如运算符的优先级相同，比如*和/这两种运算符，则先从左边开始转化。

也就是说能先从左边开始，就从左边开始。

这样求得的后缀表达式就是唯一的，也可以看到上面我们求后缀表达式的式子，原本的运算顺序为1243，转换后为1234。

上面都是手算，下面来看代码：

代码在最后。

（2）后缀表达式的计算

对于上面我们求出的算数表达式，如果我们想要计算，我们观察这个式子，很快就能相处计算方法。

方法如下：

比如说：上面我们求后缀表达式的中缀表达式式子为（15-2）*3+4/2，经计算为41。

后缀表达式为15 2 - 3 * 4 2 / +

我们采用后缀表达式的计算方法计算一遍。

第一次遇到运算符为‘-’，那么得到15-2=13。

第二次遇到运算符为‘*’，那么得到13*3=39。

第三次遇到运算符为‘/’，那么得到4/2=2。

第四次遇到运算符为‘+’，那么得到39+2=41。

完全和中缀表达式计算得到的结果相同。上面的方法对于哪一种后缀表达式都是适用的。

有了这种思想其实前缀表达式，同样的自己也就可以解决了。

代码在最后。

（3）将中缀表达式转换为前缀表达式

举个例子：

（15-2）*3+4/2将这个中缀表示式化为前缀表达式。

我们先确定运算的顺序，如下：

第一步:/ 4 2，这里的表达式又是一个操作数。

第二步：- 15 2 / 4 2，操作数顺序不能颠倒。

第三步：* - 15 2 3 / 4 2

第四步：+ * - 15 2 3 / 4 2，最终的到的式子就是前缀表达式。

同理，算法具有确定性，因此，规定‘右优先‘，最后将运算的顺序2341转化后为4321。

操作3和4可以自己试着模仿1和2写代码，因此就不给代码了。

（4）前缀表达式的计算

对于上面我们求出的算数表达式，如果我们想要计算，我们观察这个式子，很快就能相处计算方法。

它和后缀表达式的计算方法顺序相反，如下：

举个例子：计算上面求得的前缀表达式+ * - 15 2 3 / 4 2

从右向左：

第一次遇到运算符’/‘,得到4/2=2。

第二次遇到运算符’-‘，得到15-2=13

第三次遇到运算符’*‘，得到13*3=39

第四次遇到运算符’+‘，得到39+2=41

因此，41就是该前缀表达式的值。

（5）中缀表达式的计算

其实，对于中缀表达式，人是非常好计算的。但对于计算机而言，中缀表达式的计算方法是非常复杂的。

这就需要先将中缀转前缀或者后缀，然后按转换后的表达式的计算方法计算。

代码在最后。

//expression.h
#pragma once
#include<string>
#include<stack>
class expression
{
public:std::string inExpression;//中缀表达式std::string poExpression;//后缀表达式std::string prExpression;//前缀表达式expression(std::string obj);~expression(){};int priority(char op);//运算符的优先级bool isOp(char op);//是否是四种运算符号std::string readInNum(int &i);//读取中缀表达式中数字std::string readPoNum(int &i);//读取后缀表达式中数字void inToPo();//中缀转后缀void inToPr();//中缀转前缀int answer();//表达式结果};

//expression.cpp
#include "expression.h"
expression::expression(std::string obj)
{inExpression = obj;
}
bool expression::isOp(char op)
{if (op == '+' || op == '-' || op == '*' || op == '/')return true;return false;
}
int expression::priority(char op)
{switch (op){case '+':case '-':return 0;case '*':case '/':return 1;default:break;}return -1;
}
std::string expression::readInNum(int &i)
{std::string num;while (isdigit(inExpression[i])){num += inExpression[i];i++;}i--;return num;
}
std::string expression::readPoNum(int& i)
{std::string num;while (isdigit(poExpression[i])){num += poExpression[i];i++;}i--;return num;
}
void expression::inToPo()
{//(15-2)*3+4/2//h//postd::stack<char> h;for (int i = 0; i < inExpression.size(); i++){if (isdigit(inExpression[i])){poExpression += readInNum(i);poExpression += ' ';}else if (inExpression[i] == '(')h.push(inExpression[i]);else if (inExpression[i] == ')'){while (h.top() != '('){poExpression += h.top();poExpression += ' ';h.pop();}h.pop();}else if (isOp(inExpression[i])){//因为栈顶一定是优先级最高的，每次只需要和栈顶元素比较就行while (!h.empty() && priority(inExpression[i]) < priority(h.top())){poExpression += h.top();poExpression += ' ';h.pop();}h.push(inExpression[i]);}}while (!h.empty()){poExpression += h.top();poExpression += ' ';h.pop();}
}
void expression::inToPr()
{}
int cal(int lhs, int rhs,char op)
{switch (op){case '+':return lhs + rhs;case '-':return lhs - rhs;case '*':return lhs * rhs;case '/':return lhs / rhs;default:break;}return 0;
}
int expression::answer()
{std::stack<int>num;for (int i = 0; i < poExpression.size(); i++){if (isdigit(poExpression[i]))num.push(std::stoi(readPoNum(i)));else if (poExpression[i] == ' ')continue;else if (isOp(poExpression[i])){int rhs = num.top();num.pop();int lhs = num.top();num.pop();num.push(cal(lhs, rhs, poExpression[i]));}}return num.top();
}