余数之和（数论、数学题）

题目描述

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。

输入格式

输入仅一行，包含两个整数n, k。

输出格式

输出仅一行，即j(n, k)。

数据范围

1≤n,k≤1e9

输入样例

5 3

输出样例

思路：

这题，纯数学题。
已知 k m o d i = k − ⌊ k / i ⌋ ∗ i k \ mod\ i = k - \lfloor k / i \rfloor * i k mod i=k−⌊k/i⌋∗i
所以： ∑ i = 1 n k m o d i = n ∗ k − ∑ i = 1 n ⌊ k / i ⌋ ∗ i \sum_{i=1}^n{k\ mod\ i} = n * k - \sum_{i=1}^n{\lfloor k / i \rfloor * i} i=1∑nk mod i=n∗k−i=1∑n⌊k/i⌋∗i
由此可以看出，我们必须将 ∑ i = 1 n ⌊ k / i ⌋ ∗ i {\sum_{i=1}^n\lfloor k / i \rfloor * i} ∑i=1n⌊k/i⌋∗i 进行简化计算。
⌊ k / i ⌋ \lfloor k / i \rfloor ⌊k/i⌋ 随着 i i i 的递增，是一个递减的趋势，也就是一个单调递减的性质。
对于任意的整数 l ∈ [ 1 , k ] l\in[1, k] l∈[1,k]，设 r = ⌊ k / ⌊ k / l ⌋ ⌋ r=\lfloor k/\lfloor k/l\rfloor\rfloor r=⌊k/⌊k/l⌋⌋
又 ⌊ k / l ⌋ ≤ ( k / l ) \lfloor k / l\rfloor\leq(k/l) ⌊k/l⌋≤(k/l)
显然有 r ≥ ⌊ k / ( k / l ) ⌋ = x r\geq\lfloor k/(k/l)\rfloor=x r≥⌊k/(k/l)⌋=x，所以， ⌊ k / r ⌋ ≤ ⌊ k / l ⌋ \lfloor k/r\rfloor\leq\lfloor k/l\rfloor ⌊k/r⌋≤⌊k/l⌋。
又因为， ⌊ k / r ⌋ ≥ ⌊ k / ( k / ⌊ k / l ⌋ ) ⌋ = ⌊ k / k ∗ ⌊ k / l ⌋ ⌋ = ⌊ k / l ⌋ \lfloor k / r\rfloor\geq\lfloor k/(k/\lfloor k/l\rfloor)\rfloor=\lfloor k/k*\lfloor k/l\rfloor\rfloor=\lfloor k/l\rfloor ⌊k/r⌋≥⌊k/(k/⌊k/l⌋)⌋=⌊k/k∗⌊k/l⌋⌋=⌊k/l⌋
所以： ⌊ k / r ⌋ = ⌊ k / l ⌋ \lfloor k / r\rfloor=\lfloor k/l\rfloor ⌊k/r⌋=⌊k/l⌋。
并且对于任意的 i ∈ [ l , ⌊ k / ⌊ k / l ⌋ ⌋ ] i\in[l, \lfloor k/\lfloor k/l\rfloor\rfloor] i∈[l,⌊k/⌊k/l⌋⌋]， ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋的值都相等，图像为一段平行于x轴的线段。这样，我们就可以将循环的范围进行缩小，优化了效率。

接下来证明一下循环的范围。

∀ i ∈ [ 1 , k ] \forall i\in[1,k] ∀i∈[1,k]

当 i ≤ k i\leq\sqrt k i≤k 时， i i i 为 1 ⇒ k 1\Rightarrow \sqrt k 1⇒k 的整数，所以 ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋最多只有 k \sqrt k k 个不同的值。
当 i > k i>\sqrt k i>k 时， ⌊ k / i ⌋ < k \lfloor k/i\rfloor<\sqrt k ⌊k/i⌋<k ，又因为 ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋是向下取整，故 ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋也最多只有 k \sqrt k k 个不同的取值。

所以， ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋至多只有 2 k 2\sqrt k 2k 个不同的值。
综上所述，对于 i = [ 1 , k ] i=[1,k] i=[1,k]， ⌊ k / i ⌋ \lfloor k/i\rfloor ⌊k/i⌋由不超过 2 k 2\sqrt k 2k 不同的值段组成，每一段的值都相等。

所以对于每一段 ∑ i = l r ⌊ k / i ⌋ ∗ i {\sum_{i=l}^r\lfloor k / i \rfloor * i} ∑i=lr⌊k/i⌋∗i 可以简化成 ⌊ k / l ⌋ ∗ ∑ i = l r i \lfloor k / l\rfloor*\sum_{i=l}^ri ⌊k/l⌋∗∑i=lri。
而 ∑ i = l r i \sum_{i=l}^ri ∑i=lri 是一个等差数列求和，代代求和公式就可求出。

算法设计：

先让 l = 1 l=1 l=1，再计算出求和的上界 r r r，最后代公式计算整段的值
更新每段的段首，即 l = r + 1 l=r+1 l=r+1
重复1、2步，直到取完所有的可选段，即当 k / l k/l k/l 为零的时候，上界就取完了。

注意数据范围，可能会炸int，所以索性全开long long 了。
注意一下上界只能取到右端点n，如果大于n，这段值为零是没有贡献的，所以得判断一下 ⌊ k / ⌊ k / l ⌋ ⌋ \lfloor k /\lfloor k / l\rfloor\rfloor ⌊k/⌊k/l⌋⌋ 与 n n n 的大小关系，上界取min

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL n, k, res;int main()
{cin >> n >> k;res = n * k;for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1){//判断上界是否为0,如果为0,则说明取到无值贡献的段了,可以直接break掉,也可以让r等于右端点n。r = k / l ? min(k/(k/l), n) : n;//(l + r) * (r - l + 1) / 2 是等差数列求和res -= (k/l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;}cout << res << endl;return 0;
}